Dernier théorème de Fermat

Auteur: Leandro Alegsa

09-05-2021

Le dernier théorème de Fermat est une idée très célèbre en mathématiques. Il dit cela :

Si n est un nombre entier supérieur à 2 (comme 3, 4, 5, 6.....), alors l'équation

x n + y n = z n {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}} $x^{n}+y^{n}=z^{n}$

n'a pas de solutions lorsque x, y et z sont des nombres naturels (nombres entiers positifs (entiers) sauf 0 ou "compter des nombres" tels que 1, 2, 3....). Cela signifie qu'il n'y a pas de nombres naturels x, y et z pour lesquels cette équation est vraie (c'est-à-dire que les valeurs des deux côtés ne peuvent jamais être les mêmes si x, y, z sont des nombres naturels et que n est un entier supérieur à 2).

Pierre de Fermat en parle en 1637 dans son exemplaire d'un livre intitulé Arithmetica. Il disait : "J'ai une preuve de ce théorème, mais il n'y a pas assez de place dans cette marge". Cependant, aucune preuve correcte n'a été trouvée pendant 357 ans. Elle a finalement été prouvée en 1995. Les mathématiciens du monde entier pensent que Fermat, en fait, n'avait pas une bonne preuve de ce théorème.

Relations avec les autres mathématiques

Le dernier théorème de Fermat est une forme plus générale de l'équation : a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . (Cela vient du théorème de Pythagore). Un cas particulier est celui où a, b et c sont des nombres entiers. On les appelle alors "triple de Pythagore". Par exemple : 3, 4 et 5 donnent 3^2 + 4^2 = 5^2 comme 9+16=25, ou 5, 12 et 13 donnent 25+144=169. Il y en a un nombre infini (ils sont éternels). Le dernier théorème de Fermat parle de ce qui se passe lorsque le 2 devient un nombre entier plus grand. Il indique qu'il n'y a alors pas de triplets lorsque a, b et c sont des nombres entiers supérieurs ou égaux à un (ce qui signifie que si n est supérieur à deux, a, b et c ne peuvent pas être des nombres naturels).

Preuve

La preuve a été faite pour certaines valeurs de n (comme n=3, n=4, n=5 et n=7). Fermat, Euler, Sophie Germain, et d'autres personnes ont fait cela.

Toutefois, la preuve complète doit montrer que l'équation n'a pas de solution pour toutes les valeurs de n (lorsque n est un nombre entier supérieur à 2). La preuve a été très difficile à trouver, et le dernier théorème de Fermat a pris beaucoup de temps pour être résolu.

Un mathématicien anglais du nom d'Andrew Wiles a trouvé une solution en 1995, 358 ans après que Fermat ait écrit à ce sujet. Richard Taylor l'a aidé à trouver la solution ^[]. La preuve a nécessité huit ans de recherche. Il a d'abord prouvé le théorème en démontrant le théorème de la modularité, qui s'appelait alors la conjecture de Taniyama-Shimura. En utilisant le théorème de Ribet, il a pu donner une preuve pour le dernier théorème de Fermat. Il a reçu le prix Wolfskehl de l'Académie de Göttingen en juin 1997 : il s'élevait à environ 50 000 dollars américains.

Après quelques années de débat, les gens ont convenu qu'Andrew Wiles avait résolu le problème. Andrew Wiles a utilisé beaucoup de mathématiques modernes et a même créé de nouvelles mathématiques lorsqu'il a fait sa solution. Ces mathématiques étaient inconnues lorsque Fermat a écrit sa fameuse note, donc Fermat n'a pas pu les utiliser. Cela laisse à penser que Fermat n'avait en fait pas la solution complète du problème.

Le mathématicien britannique Andrew Wiles

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce que le dernier théorème de Fermat ?

R : Le dernier théorème de Fermat (FLT) stipule que si n est un nombre entier supérieur à 2, alors l'équation x^n + y^n = z^n n'a pas de solutions lorsque x, y et z sont des nombres naturels. En d'autres termes, il est impossible d'exprimer en nombres entiers deux cubes qui additionnés égalent un troisième cube ou quoi que ce soit de supérieur au carré.

Q : Quand la FLT a-t-elle été écrite ?

R : Pierre de Fermat a écrit sur la FLT en 1637 à l'intérieur de sa copie d'un livre appelé Arithmetica.

Q : Qu'a dit Fermat à propos du théorème ?

R : Il a dit "J'ai une preuve de ce théorème, mais il n'y a pas assez de place dans cette marge".

Q : Combien de temps a-t-il fallu pour que FLT soit prouvé ?

R : Il a fallu 357 ans pour que FLT soit prouvé correctement ; cela a finalement été fait en 1995.

Q : Les mathématiciens pensent-ils que Fermat avait une preuve réelle du théorème ?

R : La plupart des mathématiciens ne pensent pas que Fermat avait réellement une preuve marginale de ce théorème.

Q : Que dit le problème original ?

R : Le problème original stipule qu'il est impossible de diviser cubum autem (un cube) en deux cubes ou quadratoquadratum (un carré) en deux carrés et, en général, rien au-delà des carrés ne peut être divisé en deux du même nom, la démonstration étant remarquable mais trop grande pour la taille de la marge.