Nombre de Fermat

Auteur: Leandro Alegsa

09-05-2021

Un numéro Fermat est un numéro positif spécial. Les numéros Fermat portent le nom de Pierre de Fermat. La formule qui les génère est la suivante

F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1} $F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$

où n est un entier non négatif. Les neuf premiers numéros de Fermat sont (séquence A000215 dans l'OEIS) :

F0 = ²¹ + 1 = 3

F1 = ²² + 1 = 5

F2 = ²⁴ + 1 = 17

F3 = ²⁸ + 1 = 257

F4 = 216 + 1 = 65537

F5 = ²³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F7 = ²¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F8 = ²²⁵⁶ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

En 2007, seuls les 12 premiers chiffres de Fermat ont été entièrement pris en compte. (écrit comme un produit des nombres premiers) Ces factorisations peuvent être trouvées sur le site "Prime Factors of Fermat Numbers".

Si 2n + 1 est premier, et n > 0, on peut montrer que n doit être une puissance de deux. Chaque nombre premier de la forme 2n + 1 est un nombre de Fermat, et ces nombres premiers sont appelés des nombres premiers de Fermat. Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont F0,...,F4.

Choses intéressantes sur les chiffres de Fermat

Il n'y a pas deux numéros de Fermat qui ont des diviseurs communs.
Le nombre de ferments peut être calculé de manière récursive : Pour obtenir le Nième nombre, multipliez tous les nombres de Fermat qui le précèdent et ajoutez deux au résultat.

Leur utilisation

Aujourd'hui, les nombres Fermat peuvent être utilisés pour générer des nombres aléatoires, entre 0 et une certaine valeur N, qui est une puissance de 2.

La conjecture de Fermat

Lorsqu'il étudiait ces nombres, Fermat a supposé que tous les nombres de Fermat étaient premiers. Leonhard Euler a prouvé que c'était faux, en 1732, en factorisant F 5 (style d'affichage F_{5}). $F_{5}$

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce qu'un nombre de Fermat ?

R : Un nombre de Fermat est un nombre positif spécial nommé d'après Pierre de Fermat. Il est généré par la formule F_n = 2^2^(n) + 1, où n est un nombre entier non négatif.

Q : Combien de nombres de Fermat existe-t-il ?

R : En 2007, seuls les 12 premiers nombres de Fermat ont été complètement factorisés.

Q : Quels sont les neuf premiers nombres de Fermat ?

A : Les neuf premiers nombres de Fermat sont F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), et F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (12389261552897 × 934616397153579777691635581996068584051237541638188580280321).

Q : Que peut-on dire des nombres premiers de la forme 2n + 1 ?

R : Si 2n + 1 est premier et n > 0, on peut montrer que n doit être une puissance de deux. Chaque nombre premier de la forme 2n + 1 est également un nombre de Fermat et de tels nombres premiers sont appelés nombres premiers de Fermat. Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont de 0 à 4.

Q : Où peut-on trouver les factorisations des 12 nombres de Fermat factorisés connus ?

R : Les factorisations des 12 nombres de Fermat factorisés connus se trouvent sur le site Prime Factors of Fermat Numbers.

Q : Qui était Pierre de Fermaat ?

R : Pierre de Fermaat était un mathématicien français influent qui a vécu au 17ème siècle et dont les travaux ont posé une grande partie des bases des mathématiques modernes. Il est surtout connu pour ses contributions à la théorie des probabilités et à la géométrie analytique ainsi que pour son célèbre Dernier Théorème qui est resté non résolu jusqu'en 1995, date à laquelle il a finalement été prouvé par Andrew Wiles à l'aide de méthodes issues de la géométrie algébrique.