Exponentiation

L'exponentiation (puissance) est une opération arithmétique sur les nombres. C'est une multiplication répétée, tout comme la multiplication est une addition répétée. Les gens écrivent l'exponentiation avec l'index supérieur. Cela ressemble à ceci : x y {\displaystyle x^{y}} $x^{y}$ . D'autres méthodes de notation mathématique ont été utilisées dans le passé. Lorsque l'on écrit avec un équipement qui ne peut pas utiliser l'index supérieur, les gens écrivent les puissances en utilisant les signes ^ ou **, donc 2^3 ou 2**3 signifie 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ .

Le nombre x est appelé base, et le nombre y est appelé exposant. Par exemple, dans 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ 2 est la base et 3 est l'exposant.

Pour calculer 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ une personne doit multiplier le nombre 2 par lui-même 3 fois. Donc 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2} $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ . Le résultat est 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8} $2\cdot 2\cdot 2=8$ . L'équation pourrait être lue à haute voix de cette façon : 2 élevé à la puissance de 3 égale 8.

Exemples :

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ pour chaque nombre x

Si l'exposant est égal à 2, alors la puissance est appelée carré parce que la surface d'un carré est calculée en utilisant un affichage de type 2 a^{2}} $a^{2}$ . Donc

x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ est le carré de x {\displaystyle x}

Si l'exposant est égal à 3, alors la puissance est appelée cube car le volume d'un cube est calculé à l'aide d'un a^{3}} de style 3 $a^{3}$ . Donc

x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ est le cube de x {\displaystyle x}

Si l'exposant est égal à -1, la personne doit alors calculer l'inverse de la base. Donc

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Si l'exposant est un nombre entier et est inférieur à 0, la personne doit alors inverser le nombre et calculer la puissance. Par exemple :

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Si l'exposant est égal à 1 2, ${\frac {1}{2}}$ alors le résultat de l'exponentiation est la racine carrée de la base. Ainsi, x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}. } $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Exemple :

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

De la même manière, si l'exposant est 1 n{displaystyle{frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ le résultat est la nième racine, donc :

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Si l'exposant est un nombre rationnel p q ${\frac {p}{q}}$ alors le résultat est la qième racine de la base élevée à la puissance p, donc :

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

L'exposant peut même ne pas être rationnel. Pour élever une base a à une puissance x irrationnelle, nous utilisons une séquence infinie de nombres rationnels (xi), dont la limite est x :

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

comme ceci :

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Certaines règles aident à calculer les pouvoirs :

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

Il est possible de calculer l'exponentiation des matrices. La matrice doit être carrée. Par exemple : I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce que l'exponentiation ?

R : L'exponentiation est une opération arithmétique sur les nombres qui peut être considérée comme une multiplication répétée.

Q : Comment écrit-on l'exponentiation ?

R : L'exponentiation s'écrit généralement sous la forme x^y, où x est la base et y l'exposant. Elle peut également être écrite en utilisant les signes ^ ou **, comme 2^4 ou 2**4.

Q : Quels sont des exemples d'exponentiation ?

R : Voici quelques exemples d'exponentiation : 5^3 = 5*5*5 = 125 ; x^2 = x*x ; 1^x = 1 pour chaque nombre x ; et 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

Q : Qu'est-ce que cela signifie lorsque l'exposant est égal à -1 ?

R : Lorsque l'exposant est égal à -1, alors la puissance est simplement la réciproque de la base (x^(-1) = 1/x).

Q : Comment calculer une puissance irrationnelle d'une base ?

R : Pour élever une base a à une puissance x irrationnelle, on utilise une suite infinie de nombres rationnels (xn), dont la limite est x (a^x = lim n->infinité a^(x_n)).

Q : Existe-t-il des règles qui facilitent le calcul des exposants ?

R : Oui, il existe plusieurs règles qui facilitent le calcul des exposants. Parmi celles-ci, citons (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n ; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n ; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s) ; et ainsi de suite.