Identité d'Euler

De nombreuses équations peuvent s'écrire comme une série de termes additionnés. C'est ce qu'on appelle une série de Taylor

La fonction exponentielle e x {\displaystyle e^{x}} peut s'écrire comme la série de Taylor

e x = 1 + x + x x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}}

De même, le sinus peut être écrit comme

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \plus de 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}}

et Cosine comme

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \plus de 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}}

Ici, nous voyons un schéma prendre forme. e x {\displaystyle e^{x}} semble être une somme de sinus et cosinus de la série de Taylor, sauf que tous les signes sont devenus positifs. L'identité que nous prouvons est en fait e i x = cos (x) + i sin (x).

Ainsi, sur le côté gauche se trouve e i x {\displaystyle e^{ix}} dont la série de Taylor est 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \plus de 5!}\cdots

Nous pouvons voir ici un schéma : un terme sur deux est un terme en i fois sine, et les autres termes sont des termes en cosinus.

Sur le côté droit se trouve cos (x) + i sin (x) dont la série de Taylor est la série de Taylor du cosinus, plus i fois la série de Taylor du sinus, qui peut être représentée comme suit

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ )+(1{x^{2} \plus de 2!}+{x^{4} \plus de 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \plus de 3!}+{ix^{5} \plus de 5!}\cdots )}

si nous les additionnons, nous avons

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \plus de 5!}\cdots

Par conséquent :

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}

Maintenant, si nous remplaçons x par π {\displaystyle \pi } nous avons..

• e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )}

Alors nous savons que

• cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1}

et

• sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0}

Par conséquent :

• e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1}
• e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

QED