L'identité d'Euler, parfois appelée l'équation d'Euler, est cette équation :
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
ı = √ - 1 {\displaystyle \imath =\surd {-1}}
L'identité d'Euler porte le nom du mathématicien suisse Leonard Euler. Il n'est pas certain qu'il l'ait inventé lui-même.
Les répondants à un sondage de Physics World ont qualifié cette identité de "déclaration mathématique la plus profonde jamais écrite", "étrange et sublime", "remplie de beauté cosmique" et "époustouflante".
De nombreuses équations peuvent s'écrire comme une série de termes additionnés. C'est ce qu'on appelle une série de Taylor
La fonction exponentielle e x {\displaystyle e^{x}}
peut s'écrire comme la série de Taylor
e x = 1 + x + x x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}}
De même, le sinus peut être écrit comme
sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \plus de 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}}
et Cosine comme
cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \plus de 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}}
Ici, nous voyons un schéma prendre forme. e x {\displaystyle e^{x}} semble être une somme de sinus et cosinus de la série de Taylor, sauf que tous les signes sont devenus positifs. L'identité que nous prouvons est en fait e i x = cos (x) + i sin (x)
.
Ainsi, sur le côté gauche se trouve e i x {\displaystyle e^{ix}}
dont la série de Taylor est 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \plus de 5!}\cdots
Nous pouvons voir ici un schéma : un terme sur deux est un terme en i fois sine, et les autres termes sont des termes en cosinus.
Sur le côté droit se trouve cos (x) + i sin (x)
dont la série de Taylor est la série de Taylor du cosinus, plus i fois la série de Taylor du sinus, qui peut être représentée comme suit
( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ )+(1{x^{2} \plus de 2!}+{x^{4} \plus de 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \plus de 3!}+{ix^{5} \plus de 5!}\cdots )}
si nous les additionnons, nous avons
1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \plus de 5!}\cdots
Par conséquent :
e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}
Maintenant, si nous remplaçons x par π {\displaystyle \pi }
nous avons..
Alors nous savons que
et
Par conséquent :
QED
R : L'identité d'Euler, parfois appelée équation d'Euler, est une équation qui comporte les constantes mathématiques pi, le nombre d'Euler et l'unité imaginaire ainsi que trois des opérations mathématiques de base (addition, multiplication et exponentiation). L'équation est e^(i*pi) + 1 = 0.
R : Leonard Euler était un mathématicien suisse qui a donné son nom à l'identité. Il n'est pas certain qu'il l'ait inventée lui-même.
R : Les personnes ayant répondu à un sondage de Physics World ont qualifié l'identité de "l'énoncé mathématique le plus profond jamais écrit", de "troublante et sublime", de "remplie de beauté cosmique" et d'"époustouflante".
R : Les constantes présentes dans cette équation sont pi (environ 3,14159), le nombre d'Euler (environ 2,71828) et une unité imaginaire (égale à -1).
R : Les opérations présentes dans cette équation sont l'addition, la multiplication et l'exponentiation.
R : Pi peut être exprimé mathématiquement comme suit : π ≈ 3.14159 {\displaystyle \pi \approx 3.14159}.
Q : Comment peut-on exprimer mathématiquement le nombre d'Euler ? R : Le nombre d'Euler peut être exprimé mathématiquement comme e ≈ 2,71828 {\displaystyle e\approx 2,71828}.