Géométrie euclidienne

Auteur: Leandro Alegsa Date de création: 9 mai 2021

La géométrie euclidienne est un système mathématique. Les gens pensent qu'Euclide a été la première personne à le décrire ; c'est pourquoi il porte son nom. Il l'a décrit pour la première fois dans son manuel Elements. Ce livre a été la première discussion systématique de la géométrie telle qu'elle était connue à l'époque. Dans le livre, Euclide assume d'abord quelques axiomes. Ceux-ci constituent la base des travaux ultérieurs. Ils sont intuitivement clairs. A partir de ces axiomes, d'autres théorèmes peuvent être prouvés.

Au XIXe siècle, d'autres formes de géométrie ont été trouvées. Il s'agit de la géométrie non euclidienne. Carl Friedrich Gauss, János Bolyai et Nikolai Ivanovich Lobachevsky sont quelques uns de ceux qui ont développé de telles géométries. Très souvent, ceux-ci n'utilisent pas le postulat du parallèle, mais les quatre autres axiomes.

Les axiomes

Euclide fait les hypothèses suivantes. Ce sont des axiomes, qui n'ont pas besoin d'être prouvés.

Deux points quelconques peuvent être reliés par une ligne droite
Tout segment de ligne droite peut être allongé (prolongé) à l'infini, il devient donc une ligne droite.
Avec un segment de ligne droite, il est possible de dessiner un cercle, de sorte qu'une extrémité du segment soit le centre du cercle, et que l'autre extrémité se trouve sur le cercle. Le segment de droite devient le rayon du cercle.
Tous les angles droits sont congruents
Postulat parallèle. Si deux lignes se coupent une troisième de telle manière que la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieure à deux angles droits, alors les deux lignes doivent inévitablement se couper de ce côté si elles sont suffisamment étendues.

Statut

La géométrie euclidienne est une théorie du premier ordre. Avec elle, des déclarations comme "Pour tous les triangles..." peuvent être faites, et être prouvées. Des déclarations comme "Pour tous les ensembles de triangles..." sont hors du champ de la théorie.

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce que la géométrie euclidienne ?

R : La géométrie euclidienne est un système en mathématiques qui a été décrit pour la première fois par Euclide dans son manuel Elements. Il se compose de quelques axiomes qui constituent la base des travaux ultérieurs, et d'autres théorèmes peuvent être prouvés à partir de ces axiomes.

Q : Qui a écrit les Éléments ?

R : Euclide a écrit les Éléments, qui constituent la première discussion systématique de la géométrie telle qu'elle était connue à l'époque.

Q : Quels sont des exemples de géométries non euclidiennes ?

R : Les géométries non euclidiennes ont été développées par Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai et Nikolai Ivanovich Lobachevsky au 19e siècle. Celles-ci n'utilisent souvent pas le postulat du parallèle mais s'appuient plutôt sur les quatre autres axiomes.

Q : De quoi les Éléments traitent-ils ?

R : Elements traite de la géométrie telle qu'elle était connue à l'époque et en fournit une discussion systématique.

Q : Combien d'axiomes compte la géométrie euclidienne ?

R : La géométrie euclidienne possède quelques axiomes qui constituent sa base pour les travaux ultérieurs.

Q : Qui a développé les géométries non-euclidiennes ?

R : Les géométries non euclidiennes ont été développées par Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai et Nikolai Ivanovich Lobachevsky au 19e siècle.

Q : La géométrie non euclidienne utilise-t-elle les cinq axiomes ou seulement quatre ?

R : La géométrie non-euclidienne n'utilise souvent pas le postulat de parallélisme mais s'appuie plutôt sur seulement quatre de ses cinq axiomes.