Valeur propre, vecteur propre et espace propre

Principes de base

S'il existe une matrice carrée appelée A, un scalaire λ, et un vecteur non nul v, alors λ est la valeur propre et v est le vecteur propre si l'équation suivante est satisfaite :

A v = λ v . {\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} \,. }

En d'autres termes, si la matrice A multipliée par le vecteur v est égale au scalaire λ multiplié par le vecteur v, alors λ est la valeur propre de v, où v est le vecteur propre.

Un eigenspace de A est l'ensemble de tous les vecteurs propres ayant la même valeur propre avec le vecteur zéro. Cependant, le vecteur zéro n'est pas un vecteur propre.

Ces idées sont souvent étendues à des situations plus générales, où les scalaires sont des éléments de n'importe quel champ, les vecteurs sont des éléments de n'importe quel espace vectoriel, et les transformations linéaires peuvent ou non être représentées par une multiplication matricielle. Par exemple, au lieu des nombres réels, les scalaires peuvent être des nombres complexes ; au lieu des flèches, les vecteurs peuvent être des fonctions ou des fréquences ; au lieu de la multiplication matricielle, les transformations linéaires peuvent être des opérateurs tels que la dérivée du calcul. Ce ne sont là que quelques exemples parmi tant d'autres où les vecteurs et les valeurs propres sont importants.

Dans de tels cas, l'idée de direction perd son sens ordinaire et a plutôt une définition plus abstraite. Mais même dans ce cas, si cette direction abstraite est inchangée par une transformation linéaire donnée, le préfixe "propre" est utilisé, comme dans fonction propre, mode propre, face propre, état propre et fréquence propre.

Les valeurs propres et les vecteurs propres ont de nombreuses applications en mathématiques pures et appliquées. Ils sont utilisés dans la factorisation matricielle, la mécanique quantique, les systèmes de reconnaissance faciale et dans de nombreux autres domaines.

Exemple

Pour la matrice A

A = [ 2 1 1 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}. }

le vecteur

x = [ 3 - 3 ] {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}3\\\-3\end{bmatrix}}}

est un vecteur propre avec une valeur propre de 1. En effet,

A x = [ 2 1 1 2 ] [ 3 - 3 ] = [ ( 2 ⋅ 3 ) + ( 1 ⋅ ( - 3 ) ) ( 1 ⋅ 3 ) + ( 2 ⋅ ( - 3 ) ) ] = [ 3 - 3 ] = 1 ⋅ [ 3 - 3 ] . {\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}2&1\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\\\-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 3)+(1\cdot (-3))\\\(1\cdot 3)+(2\cdot (-)3))\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}. }

D'autre part, le vecteur

x = [ 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}0\\\1\end{bmatrix}}}

n'est pas un vecteur propre, puisque

[ 2 1 1 2 ] [ 0 1 ] = [ ( 2 ⋅ 0 ) + ( 1 ⋅ 1 ) ( 1 ⋅ 0 ) + ( 2 ⋅ 1 ) ] = [ 1 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 0)+(1\cdot 1)\\(1\cdot 0)+(2\cdot 1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}. }

et ce vecteur n'est pas un multiple du vecteur original x.