Diviseur
Pour le deuxième opérande d'une division, voir division (mathématiques).
En mathématiques, un diviseur d'un entier n, également appelé facteur de n, est un entier qui divise uniformément n sans laisser de reste. Tout nombre est toujours divisible de façon égale par 1 et par lui-même, qui sont deux des diviseurs. Un nombre premier n'a pas d'autres diviseurs.
Trouver un ou plusieurs facteurs d'un nombre donné est appelé factorisation.
Explication
Par exemple, 7 est un diviseur de 42 car 42÷7 = 6. On dit aussi que 42 est divisible par 7 ou que 42 est un multiple de 7 ou que 7 divise 42 ou que 7 est un facteur de 42 et on écrit généralement 7 | 42. Par exemple, les diviseurs positifs de 42 sont 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
En général, on dit m÷n pour les entiers non nuls m et n s'il existe un entier k tel que n = km. Ainsi, les diviseurs peuvent être aussi bien négatifs que positifs, bien que nous limitions souvent notre attention aux diviseurs positifs. (Par exemple, il existe six diviseurs de quatre, 1, 2, 4, -1, -2, -4, mais on ne mentionne généralement que les diviseurs positifs, 1, 2 et 4).
1 et -1 divisent (sont des diviseurs de) chaque entier, chaque entier est un diviseur de lui-même, et chaque entier est un diviseur de 0, sauf par convention 0 lui-même (voir aussi division par zéro). Les nombres divisibles par 2 sont appelés pairs et les nombres non divisibles par 2 sont appelés impairs.
Un diviseur de n qui n'est pas 1, -1, n ou -n est connu comme un diviseur non trivial ; les nombres ayant des diviseurs non triviaux sont connus comme des nombres composites, tandis que les nombres premiers n'ont pas de diviseurs non triviaux.
Le nom vient de l'opération arithmétique de division : si a÷b = c alors a est le dividende, b le diviseur, et c le quotient.
Repérer les diviseurs
Il existe des propriétés qui permettent de reconnaître certains diviseurs d'un nombre à partir des chiffres du nombre. Ces propriétés peuvent être utilisées comme des "astuces mathématiques" pour repérer rapidement certains diviseurs d'un nombre.
Par exemple, si le dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6 ou 8), alors 2 est un diviseur. Si le dernier chiffre est 0 ou 5, alors 5 est un diviseur. Si la somme des chiffres est un multiple de 3, alors 3 est un diviseur. Pour le nombre 340, qui se termine par "0", 2 et 5 sont des diviseurs, plus 2×5 = 10 est également un diviseur. En divisant par 10, 340/10 = 34, on obtient finalement 2×17. En combinant tous les petits nombres, on obtient les 12 diviseurs de 340 :
- Diviseur de 340 : 1, 2, 4, 5, 10, 17, 20, 34, 68, 85, 170, 340.
Notez que tout nombre est toujours divisible de façon égale par 1 et par lui-même.
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce qu'un diviseur en mathématiques ?
R : Un diviseur d'un entier n, également appelé facteur de n, est un entier qui divise n sans laisser de reste.
Q : Comment s'écrit l'énoncé "m est un diviseur de n" ?
R : L'énoncé "m est un diviseur de n" peut s'écrire m|n, où "|" signifie "divise".
Q : Quels sont les nombres qui sont toujours divisibles par un autre nombre ?
R : Tout nombre est toujours divisible par 1 et par lui-même, qui sont deux de ses diviseurs.
Q : Qu'est-ce qu'un nombre premier ?
R : Un nombre premier est un nombre qui n'a pas d'autre diviseur.
Q : Quels sont les diviseurs propres d'un nombre n ?
R : Les diviseurs propres d'un nombre n, autres que n lui-même, sont les diviseurs positifs de n.
Q : Qu'est-ce que la factorisation ?
R : Trouver un ou plusieurs facteurs d'un nombre donné s'appelle la factorisation.
Q : Quelle est la différence entre un diviseur et un facteur ?
R : Il n'y a pas de différence entre un diviseur et un facteur. Il s'agit de deux termes utilisés indifféremment pour désigner un nombre entier qui divise un autre nombre entier sans laisser de reste.
