Diviseur (arithmétique) : définition, propriétés et applications
Explication complète du concept de diviseur d'un entier : définition, exemples, propriétés (unités, zéros, diviseurs positifs/négatifs), théorème fondamental, fonctions arithmétiques et usages pratiques.
Vue d'ensemble
En arithmétique, un diviseur d'un entier n est un entier d tel que n peut s'écrire comme d multiplié par un autre entier, autrement dit il existe un entier k vérifiant n = d·k. On note souvent d | n pour signifier « d divise n ». Les diviseurs peuvent être considérés en nombres entiers signés (positifs et négatifs) ou uniquement parmi les entiers positifs selon le contexte.
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Exemples et cas particuliers
Quelques faits simples aident à fixer les idées : tout entier n est divisible par 1 et par lui‑même ; un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs (1 et lui‑même) ; zéro est spécial : tout entier non nul divise 0 car 0 = d·0, tandis que 0 ne divise que 0. Pour un entier positif n, on distingue les diviseurs positifs usuels ; par exemple, les diviseurs positifs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
Propriétés et notions associées
- Unités : ±1 sont des diviseurs de tout entier et sont appelés unités dans l'anneau des entiers.
- Diviseurs propres : un diviseur propre de n est un diviseur différent de n lui‑même (et parfois de ±n et ±1 selon la définition choisie).
- PGCD et PPCM : la relation de divisibilité est à la base du plus grand commun diviseur (PGCD) et du plus petit multiple commun (PPCM).
- Fonctions arithmétiques : τ(n) ou d(n) compte le nombre de diviseurs positifs, σ(n) donne leur somme; ces fonctions mesurent la richesse en diviseurs d'un entier.
Factorisation et théorème fondamental
La recherche des diviseurs est reliée à la factorisation en nombres premiers : tout entier naturel >1 se décompose de manière unique (à l'ordre et au signe près) en produit de puissances de nombres premiers. Connaître cette décomposition permet d'énumérer facilement tous les diviseurs d'un nombre et de calculer des quantités comme τ(n) ou σ(n).
Applications et importance
Les diviseurs interviennent dans de nombreuses branches des mathématiques : résolution d'équations diophantiennes, théorie des nombres, cryptographie (sécurité fondée sur la difficulté de factoriser de grands entiers), analyse d'algorithmes et combinatoire. Ils servent aussi en pratique pour simplifier des fractions et étudier les propriétés multiplicatives des fonctions arithmétiques.
Remarques historiques et pédagogiques
La notion de divisibilité est ancienne et a été formalisée par les mathématiciens grecs et développée ensuite en arithmétique élémentaire. Elle demeure un concept fondamental enseigné tôt dans les cursus et qui sert de point d'appui pour des théories plus avancées comme l'algèbre commutative et la théorie des anneaux.
Explication
Par exemple, 7 est un diviseur de 42 car 42÷7 = 6. On dit aussi que 42 est divisible par 7 ou que 42 est un multiple de 7 ou que 7 divise 42 ou que 7 est un facteur de 42 et on écrit généralement 7 | 42. Par exemple, les diviseurs positifs de 42 sont 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
En général, on dit m÷n pour les entiers non nuls m et n s'il existe un entier k tel que n = km. Ainsi, les diviseurs peuvent être aussi bien négatifs que positifs, bien que nous limitions souvent notre attention aux diviseurs positifs. (Par exemple, il existe six diviseurs de quatre, 1, 2, 4, -1, -2, -4, mais on ne mentionne généralement que les diviseurs positifs, 1, 2 et 4).
1 et -1 divisent (sont des diviseurs de) chaque entier, chaque entier est un diviseur de lui-même, et chaque entier est un diviseur de 0, sauf par convention 0 lui-même (voir aussi division par zéro). Les nombres divisibles par 2 sont appelés pairs et les nombres non divisibles par 2 sont appelés impairs.
Un diviseur de n qui n'est pas 1, -1, n ou -n est connu comme un diviseur non trivial ; les nombres ayant des diviseurs non triviaux sont connus comme des nombres composites, tandis que les nombres premiers n'ont pas de diviseurs non triviaux.
Le nom vient de l'opération arithmétique de division : si a÷b = c alors a est le dividende, b le diviseur, et c le quotient.
Repérer les diviseurs
Il existe des propriétés qui permettent de reconnaître certains diviseurs d'un nombre à partir des chiffres du nombre. Ces propriétés peuvent être utilisées comme des "astuces mathématiques" pour repérer rapidement certains diviseurs d'un nombre.
Par exemple, si le dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6 ou 8), alors 2 est un diviseur. Si le dernier chiffre est 0 ou 5, alors 5 est un diviseur. Si la somme des chiffres est un multiple de 3, alors 3 est un diviseur. Pour le nombre 340, qui se termine par "0", 2 et 5 sont des diviseurs, plus 2×5 = 10 est également un diviseur. En divisant par 10, 340/10 = 34, on obtient finalement 2×17. En combinant tous les petits nombres, on obtient les 12 diviseurs de 340 :
- Diviseur de 340 : 1, 2, 4, 5, 10, 17, 20, 34, 68, 85, 170, 340.
Notez que tout nombre est toujours divisible de façon égale par 1 et par lui-même.
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce qu'un diviseur en mathématiques ?
R : Un diviseur d'un entier n, également appelé facteur de n, est un entier qui divise n sans laisser de reste.
Q : Comment s'écrit l'énoncé "m est un diviseur de n" ?
R : L'énoncé "m est un diviseur de n" peut s'écrire m|n, où "|" signifie "divise".
Q : Quels sont les nombres qui sont toujours divisibles par un autre nombre ?
R : Tout nombre est toujours divisible par 1 et par lui-même, qui sont deux de ses diviseurs.
Q : Qu'est-ce qu'un nombre premier ?
R : Un nombre premier est un nombre qui n'a pas d'autre diviseur.
Q : Quels sont les diviseurs propres d'un nombre n ?
R : Les diviseurs propres d'un nombre n, autres que n lui-même, sont les diviseurs positifs de n.
Q : Qu'est-ce que la factorisation ?
R : Trouver un ou plusieurs facteurs d'un nombre donné s'appelle la factorisation.
Q : Quelle est la différence entre un diviseur et un facteur ?
R : Il n'y a pas de différence entre un diviseur et un facteur. Il s'agit de deux termes utilisés indifféremment pour désigner un nombre entier qui divise un autre nombre entier sans laisser de reste.
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Auteur
AlegsaOnline.com Diviseur (arithmétique) : définition, propriétés et applications Leandro Alegsa
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