Division par zéro
En mathématiques, un nombre ne peut pas être divisé par zéro. Observez :
1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C}
Si B = 0, alors C = 0. C'est vrai. Mais :
2. A = C / B {\displaystyle A=C/B}
(où B=0, donc nous avons juste divisé par zéro)
Ce qui est la même chose que :
3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0}
Le problème, c'est que le
A peut être n'importe quel nombre. Cela fonctionnerait si A était égal à 1 ou à 1 000 000 000. Le 0/0 est dit de "forme indéterminée" pour cette raison, car il n'a pas de valeur unique. Les nombres de la forme A/0, par contre, où A n'est pas 0, sont dits "indéfinis" ou "indéterminés". En effet, toute tentative de les définir aboutira à une valeur de l'infini, qui est elle-même indéfinie. Habituellement, lorsque deux nombres sont égaux à la même chose, ils sont égaux l'un à l'autre. Ce n'est pas le cas lorsque la chose à laquelle ils sont tous deux égaux est 0/0. Cela signifie que les règles normales des mathématiques ne fonctionnent pas lorsque le nombre est divisé par zéro.
Preuves incorrectes basées sur la division par zéro
Il est possible de déguiser un cas particulier de division par zéro dans une argumentation algébrique. Cela peut conduire à des preuves non valables, telles que 1=2, comme dans ce qui suit :
Avec les hypothèses suivantes :
0 × 1 = 0 0 × 2 = 0.
Ce qui suit doit être vrai :
0 × 1 = 0 × 2. 0 fois 1=0 fois 2.\,}
La division par zéro donne :
0 0 × 1 = 0 0 × 2, style d'affichage, style texte, temps 1={\frac {0}{0}{\frac {0}{0}{\frac 2.}
Simplifier :
1 = 2. 1=2.\,}
Le sophisme consiste à supposer que la division par 0 est une opération légitime avec 0/0 = 1.
La plupart des gens reconnaîtraient probablement que la "preuve" ci-dessus est incorrecte, mais le même argument peut être présenté d'une manière qui rend l'erreur plus difficile à repérer. Par exemple, si 1 est écrit comme x, alors 0 peut être caché derrière x-x et 2 derrière x+x. La preuve susmentionnée peut alors être présentée comme suit :
( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}}
par conséquent :
( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,}
En divisant par x - x, on obtient :
x = x + x {\displaystyle x=x+x\,}
et la division par x donne :
1 = 2. 1=2.\,}
La "preuve" ci-dessus est incorrecte car elle se divise par zéro lorsqu'elle se divise par x-x, car tout nombre moins lui-même est zéro.
Calcul
En calcul, les "formes indéterminées" ci-dessus résultent également de la substitution directe lors de l'évaluation des limites.
Division par zéro dans les ordinateurs
Si un programme informatique tente de diviser un nombre entier par zéro, le système d'exploitation le détecte généralement et arrête le programme. Habituellement, il imprimera un "message d'erreur", ou donnera au programmeur des conseils sur la façon d'améliorer le programme [source ? ]. La division par zéro est un bogue courant dans la programmation informatique. La division de nombres à virgule flottante (décimales) par zéro donnera généralement soit l'infini, soit une valeur spéciale de NaN (pas un nombre), selon ce qui est divisé par zéro.
Division par zéro en géométrie
En géométrie 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}=\infty . }
Cet infini (infini projectif) n'est ni un nombre positif ni un nombre négatif, de la même manière que le zéro n'est ni un nombre positif ni un nombre négatif
Questions et réponses
Q : Quel est le résultat de la division d'un nombre par zéro ?
R : La division d'un nombre par zéro donne lieu à une "forme indéfinie" ou "indéterminée", ce qui signifie qu'il n'a pas de valeur unique.
Q : Que signifie 0/0 ?
R : On dit que 0/0 est de "forme indéterminée" car il n'a pas de valeur unique.
Q : Que se passe-t-il lorsque deux nombres sont égaux à la même chose, mais que cette chose est 0/0 ?
R : Les règles normales des mathématiques ne fonctionnent pas lorsque le nombre est divisé par zéro, les deux nombres ne seraient donc pas égaux l'un à l'autre.
Q : Est-il vrai que toute tentative de définir un nombre de la forme A/0 aboutira à une valeur de l'infini ?
R : Oui, toute tentative de définition d'un nombre de la forme A/0 (où A n'est pas 0) aboutira à une valeur d'infini, qui est elle-même indéfinie.
Q : Comment pouvons-nous déterminer si deux nombres sont égaux l'un à l'autre ?
R : Nous pouvons déterminer si deux nombres sont égaux l'un à l'autre en voyant s'ils sont tous deux égaux à la même chose. En général, cela fonctionne, mais cela ne s'applique pas lorsque les deux nombres sont égaux à 0/0.
Q : Existe-t-il une exception pour les cas où nous ne pouvons pas diviser un nombre par zéro ? R : Oui, en mathématiques, il n'est pas possible de diviser un nombre par zéro.
