Distributivité

Auteur: Leandro Alegsa Date de création: 9 mai 2021

La distribution est un concept issu de l'algèbre : elle indique comment les opérations binaires doivent être traitées. Le cas le plus simple est celui de l'addition et de la multiplication des nombres. Par exemple, en arithmétique :

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), mais 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

Dans la partie gauche de la première équation, le 2 multiplie la somme de 1 et 3 ; dans la partie droite, il multiplie le 1 et le 3 individuellement, les produits étant ensuite ajoutés. Comme ceux-ci donnent la même réponse finale (8), on dit que la multiplication par 2 se répartit sur l'addition de 1 et 3. Comme on aurait pu mettre n'importe quels nombres réels à la place de 2, 1 et 3 ci-dessus, et qu'on a quand même obtenu une équation vraie, on dit que la multiplication des nombres réels se répartit sur l'addition des nombres réels.

Définition

Étant donné un ensemble $S$ et deux opérateurs binaires ∗ et + sur $S$ , on dit que l'opération :

∗ est distribuée à gauche sur + si, compte tenu des éléments $x, y$ et $z$ de $S,$

x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z ) , {\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z),} $x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$

∗ est distribué à droite sur + si, compte tenu des éléments $x, y$ et $z$ de $S,$

( y + z ) ∗ x = ( y ∗ x ) + ( z ∗ x ) , {\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x),} $(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$ et

∗ est distributif sur + s'il est distributif à gauche et à droite. Notez que lorsque ∗ est commutatif, les trois conditions ci-dessus sont logiquement équivalentes.

Candidatures

La propriété distributive peut également être appliquée :

Chiffres réels
Des chiffres complexes
Matrices (des règles spéciales s'appliquent)
Vecteurs (des règles spéciales s'appliquent)
Sets
Logique propositionnelle

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce que la distribution en algèbre ?

R : La distribution est un concept d'algèbre qui décrit la manière dont les opérations binaires telles que l'addition et la multiplication sont traitées.

Q : Pouvez-vous donner un exemple de distribution en arithmétique ?

R : Oui, un exemple de distribution en arithmétique est 2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), où dans le côté gauche, le 2 multiplie la somme de 1 et de 3, tandis que dans le côté droit, le 2 multiplie le 1 et le 3 individuellement, les produits étant ensuite additionnés.

Q : Pourquoi le concept de distribution est-il important en algèbre ?

R : Le concept de distribution est important en algèbre car il permet de simplifier les équations et de les rendre plus faciles à résoudre.

Q : La multiplication se distribue-t-elle sur l'addition de tous les nombres réels ?

R : Oui, la multiplication des nombres réels se distribue sur l'addition des nombres réels, ce qui signifie que l'on pourrait mettre n'importe quel nombre réel à la place des valeurs dans l'équation utilisée pour l'exemple de distribution en arithmétique et obtenir quand même une vraie équation.

Q : L'addition est-elle distributive par rapport à la multiplication dans tous les cas ?

R : Non, l'addition n'est pas distributive par rapport à la multiplication dans tous les cas ; cela n'est vrai que pour certains ensembles de nombres tels que les nombres réels.

Q : Pouvez-vous donner un exemple où la distribution n'est pas vraie ?

R : Oui, un contre-exemple où la distribution n'est pas vraie est 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3). Dans ce cas, l'équation de gauche n'est pas égale à l'équation de droite car la division n'est pas distribuée par rapport à l'addition.

Q : Comment la distribution s'applique-t-elle aux opérations binaires ?

R : En algèbre, la distribution s'applique spécifiquement aux opérations binaires telles que l'addition et la multiplication, où elle décrit comment les opérations doivent être effectuées lorsqu'il y a plus d'un opérande impliqué.