Déterminant (mathématiques)

Il y a plusieurs façons de comprendre ce que le déterminant dit de la matrice.

Interprétation géométrique

Une matrice de type n × n peut être considérée comme décrivant une carte linéaire dans n dimensions de type n. Dans ce cas, le déterminant vous indique le facteur par lequel cette matrice met à l'échelle (augmente ou diminue) une région de l'espace à n dimensions (style d'affichage n).

Par exemple, une matrice A 2 × 2 La carte, vue comme une carte linéaire, transforme un carré dans un espace bidimensionnel en un parallélogramme. L'aire de ce parallélogramme sera dét ( A ) fois plus grande que l'aire du carré.

De la même manière, une matrice B 3 × 3, vue comme une carte linéaire, transformera un cube dans l'espace tridimensionnel en un parallélépipède. Le volume de ce parallélépipède sera det ( B ) fois plus grand que le volume du cube.

Le facteur déterminant peut être négatif. Une carte linéaire peut étirer et mettre à l'échelle un volume, mais elle peut aussi le refléter sur un axe. Chaque fois que cela se produit, le signe du déterminant passe du positif au négatif, ou du négatif au positif. Un déterminant négatif signifie que le volume a été reflété sur un nombre impair d'axes.

"Interprétation du "système d'équations

Vous pouvez voir une matrice comme décrivant un système d'équations linéaires. Ce système a une solution unique non triviale exactement lorsque le déterminant n'est pas 0. (Non-trivial signifie que la solution n'est pas seulement constituée de tous les zéros).

Si le déterminant est zéro, alors soit il n'y a pas de solution unique non triviale, soit il y en a infiniment.

Une matrice a une matrice inverse exactement lorsque le déterminant n'est pas 0. Pour cette raison, une matrice avec un déterminant non nul est appelée inversible. Si le déterminant est 0, alors la matrice est dite non inversible ou singulière.

Sur le plan géométrique, on peut considérer qu'une matrice singulière "aplatit" le parallélépipède en un parallélogramme, ou un parallélogramme en une ligne. Le volume ou l'aire est alors égal à 0, et il n'y a pas de carte linéaire qui ramènera l'ancienne forme.

Il existe plusieurs façons de calculer un déterminant.

Formules pour les petites matrices

• Pour les matrices 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} et 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2}, vous pouvez vous souvenir des formules :

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. }

• Pour les matrices 3 × 3, la formule est la suivante

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

Vous pouvez utiliser la règle de Sarrus (voir image) pour vous souvenir de cette formule.

Expansion des cofacteurs

Pour les matrices plus importantes, le déterminant est plus difficile à calculer. Une façon de le faire est appelée expansion des cofacteurs.

Supposons que nous ayons une matrice A de type n × n (n fois n). Tout d'abord, nous choisissons n'importe quelle ligne ou colonne de la matrice. Pour chaque nombre a i j {\displaystyle a_{ij}} dans cette ligne ou colonne, nous calculons quelque chose appelé son cofacteur C i j {\displaystyle C_{ij}} . Puis det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}} .

Pour calculer un tel cofacteur C i j {\displaystyle C_{ij}} Si l'on ne peut pas utiliser la matrice A, on efface la ligne i et la colonne j de la matrice A. Cela nous donne une matrice plus petite ( n - 1 ) × ( n - 1 ) / style d'affichage (n-1) / fois (n-1). Nous l'appelons M (style d'affichage M). Le cofacteur C i j est alors égal à ( - 1 ) i + j det ( M ) .

Voici un exemple d'expansion du cofacteur de la colonne de gauche d'une matrice 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} :

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. Début de l'affichage, couleur rouge 1, 3, 2, 2, 1, 1, 0, 3, 4, fin de la matrice={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{\i1}- Aligné{\i}}}

Comme vous pouvez le voir ici, nous pouvons économiser du travail en choisissant une ligne ou une colonne qui comporte de nombreux zéros. Si a i j {\displaystyle a_{ij}} est 0, nous n'avons pas besoin de calculer C i j {\displaystyle C_{ij}} .

• Volume