Dérivée

La dérivée de y par rapport à x est définie comme la variation de y par rapport à la variation de x, car la distance entre x 0 {\style d'affichage x_{0}} et x 1 {\style d'affichage x_{1}} devient infiniment petite (infinitésimale). En termes mathématiques,

f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}

C'est-à-dire que plus la distance entre les deux points x (h) se rapproche de zéro, plus la pente de la ligne qui les sépare se rapproche de la tangente.

Fonctions linéaires

Les dérivées des fonctions linéaires (fonctions de la forme a x + b {\displaystyle ax+b} sans termes quadratiques ou supérieurs) sont constantes. C'est-à-dire que la dérivée à un endroit du graphique restera la même à un autre endroit.

Lorsque la variable dépendante y prend directement la valeur de x (y = x), la pente de la ligne est de 1 à tous les endroits, donc d d x ( x ) = 1 (x)=1, quelle que soit la position.

Lorsque y modifie le nombre de x en ajoutant ou en soustrayant une valeur constante, la pente est toujours de 1 car la variation de x et de y ne change pas si le graphique est décalé vers le haut ou vers le bas. Autrement dit, la pente est toujours égale à 1 sur l'ensemble du graphique et sa dérivée est également égale à 1.

Fonctions de puissance

Les fonctions de puissance (par exemple, x a, x^{a}}) se comportent différemment des fonctions linéaires car leur pente varie (parce qu'elles ont un exposant).

Les fonctions de puissance, en général, suivent la règle selon laquelle d d x x a = a x a - 1 [style d'affichage] {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}} . Autrement dit, si nous donnons a le nombre 6, alors d d x x 6 = 6 x 5

Un autre exemple, peut-être moins évident, est la fonction f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} . C'est essentiellement la même chose car 1/x peut être simplifié pour utiliser des exposants :

f ( x ) = 1 x = x - 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}=x^{-1}}

f ′ ( x ) = - 1 ( x - 2 ) {\displaystyle f'(x)=-1(x^{-2})}

f ′ ( x ) = - 1 x 2 {\displaystyle f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}}

En outre, les racines peuvent être modifiées pour utiliser des exposants fractionnaires où l'on peut trouver leur dérivé :

f ( x ) = x 2 3 = x 2 3 {\displaystyle f(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}=x^{\frac {2}{3}}}

f ′ ( x ) = 2 3 ( x - 1 3 ) {\displaystyle f'(x)={\frac {2}{3}}(x^{-{\frac {1}{3}}})}

Fonctions exponentielles

Une exponentielle est de la forme a b f ( x ) {displaystyle ab^{f\left(x\right)}} où a {displaystyle a} et b {displaystyle b} sont des constantes et f ( x ) {displaystyle f(x)} est une fonction de x {displaystyle x} . La différence entre une exponentielle et un polynôme est que dans un polynôme, x {style d'affichage x} est élevé à une certaine puissance alors que dans une exponentielle x {style d'affichage x} est à la puissance.

Exemple 1

d d x ( a b f ( x ) ) = a b f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) ⋅ ln ( b ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(ab^{f\left(x\right)}\right)=ab^{f(x)}\cdot f'\left(x\right)\cdot \ln(b)}

Exemple 2

Find d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3{x^{2}}}\right)} .

a = 3 {\displaystyle a=3}

b = 2 {\displaystyle b=2}

f ( x ) = 3 x 2 {\displaystyle f\left(x\right)=3x^{2}}

f ′ ( x ) = 6 x {\displaystyle f'\left(x\right)=6x}

Par conséquent,

d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) = 3 ⋅ 2 3 x 2 ⋅ 6 x ⋅ ln ( 2 ) = ln ( 2 ) ⋅ 18 x ⋅ 2 3 x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3x^{2}}\right)=3\cdot 2^{3x^{2}}\cdot 6x\cdot \ln \left(2\right)=\ln \left(2\right)\cdot 18x\cdot 2^{3x^{2}}}}

Fonctions logarithmiques

La dérivée des logarithmes est la réciproque :

d d x ln ( x ) = 1 x {style d'affichage {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}} .

Prenons, par exemple, d d x ln ( 5 x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left({\frac {5}{x}}\right)} . On peut le réduire à (par les propriétés des logarithmes) :

d d x ( ln ( 5 ) ) - d d x ( ln ( x ) ) (\ln(5))-{\frac {d}{dx}}}(\ln(x))}{\frac {d}{dx}}(\ln(x))}

Le logarithme de 5 est une constante, donc sa dérivée est 0. La dérivée de ln(x) est 1 x . Donc,

0 - d d x ln ( x ) = - 1 x {\displaystyle 0-{\frac {d}{dx}}\ln(x)=-{\frac {1}{x}}}

Pour les dérivés de logarithmes qui ne sont pas en base e comme d d x ( log 10 ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\log _{10}(x))} , cela peut être réduit à : d d x log 10 ( x ) = d d x ln x ln 10 = 1 ln 10 d d x ln x = 1 x ln ( 10 ) {d}{dx}}\log _{10}(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln {x}}{\ln {10}}}={\frac {1}{\ln {10}}}{\frac {d}{dx}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(10)}}}

Fonctions trigonométriques

La fonction cosinus est la dérivée de la fonction sinus, tandis que la dérivée du cosinus est le sinus négatif (à condition que x soit mesuré en radians) :

d d x sin ( x ) = cos ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}

d d x cos ( x ) = - sin ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}

d d x sec ( x ) = sec ( x ) tan ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)} .

Les produits dérivés peuvent être décomposés en parties plus petites lorsqu'ils sont gérables (car ils n'ont qu'une seule des caractéristiques de fonction ci-dessus), par exemple :

d d x ( 3 x 6 + x 2 - 6 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(3x^{6}+x^{2}-6)} peut être décomposé comme tel :

d d x ( 3 x 6 ) + d d x ( x 2 ) - d d x ( 6 ) {\frac {d}{dx}}(3x^{6})+{\frac {d}{dx}}(x^{2})-{\frac {d}{dx}}(6)}

= 6 ⋅ 3 x 5 + 2 x - 0 {\displaystyle =6\cdot 3x^{5}+2x-0}

= 18 x 5 + 2 x {\displaystyle =18x^{5}+2x\,}

La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour rechercher les maxima et minima de la fonction en recherchant les endroits où sa pente est nulle.

Les dérivés sont utilisés dans la méthode de Newton qui permet de trouver les zéros (racines) d'une fonction...

Le dérivé peut déterminer l'augmentation ou la diminution et la concavité

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