Variété algébrique
En mathématiques, les variétés algébriques (aussi appelées variétés) sont l'un des objets centraux de l'étude de la géométrie algébrique. Les premières définitions de la variété algébrique la définissaient comme l'ensemble des solutions d'un système d'équations polynomiales, sur les nombres réels ou complexes. Les définitions modernes d'une variété algébrique généralisent cette notion tout en essayant de préserver l'intuition géométrique derrière la définition originale.
Les conventions relatives à la définition d'une variété algébrique diffèrent : Certains auteurs exigent qu'une "variété algébrique" soit, par définition, irréductible (ce qui signifie que ce n'est pas l'union de deux ensembles plus petits qui sont fermés dans la topologie zariskienne), tandis que d'autres ne le font pas. Lorsque la première convention est utilisée, les variétés algébriques non irréductibles sont appelées ensembles algébriques.
La notion de variété est similaire à celle de variété. Une différence entre une variété et une variété multiple est qu'une variété peut avoir des points singuliers, alors qu'une variété multiple n'en aura pas. Éprouvé vers 1800, le théorème fondamental de l'algèbre établit un lien entre l'algèbre et la géométrie en montrant qu'un polynôme monique dans une variable à coefficients complexes (un objet algébrique) est déterminé par l'ensemble de ses racines (un objet géométrique). En généralisant ce résultat, le Nullstellensatz de Hilbert fournit une correspondance fondamentale entre les idéaux des anneaux polynomiaux et les ensembles algébriques. En utilisant le Nullstellensatz et les résultats connexes, les mathématiciens ont établi une forte correspondance entre les questions sur les ensembles algébriques et les questions de la théorie des anneaux. Cette correspondance est la spécificité de la géométrie algébrique parmi les autres sous-domaines de la géométrie.
Le cubique torsadé est une variété algébrique projective.
Questions et réponses
Q : Que sont les variétés algébriques ?
R : Les variétés algébriques sont l'un des objets d'étude centraux en géométrie algébrique. Elles sont définies comme l'ensemble des solutions d'un système d'équations polynomiales, sur les nombres réels ou complexes.
Q : En quoi les définitions modernes diffèrent-elles de la définition originale ?
R : Les définitions modernes tentent de préserver l'intuition géométrique derrière la définition originale tout en la généralisant. Certains auteurs exigent qu'une "variété algébrique" soit, par définition, irréductible (ce qui signifie qu'elle n'est pas l'union de deux ensembles plus petits qui sont fermés dans la topologie de Zariski), tandis que d'autres ne le font pas.
Q : Quelle est une différence entre une variété et un collecteur ?
R : Une variété peut avoir des points singuliers, alors qu'un collecteur n'en aura pas.
Q : Qu'établit le théorème fondamental de l'algèbre ?
R : Le théorème fondamental de l'algèbre établit un lien entre l'algèbre et la géométrie en montrant qu'un polynôme monique en une variable à coefficients complexes (un objet algébrique) est déterminé par l'ensemble de ses racines (un objet géométrique).
Q : Que fournit le Nullstellensatz de Hilbert ?
R : Le Nullstellensatz de Hilbert fournit une correspondance fondamentale entre les idéaux des anneaux polynomiaux et les ensembles algébriques.
Q : Comment cette correspondance a-t-elle été utilisée par les mathématiciens ?
R : Les mathématiciens ont établi une correspondance solide entre les questions sur les ensembles algébriques et les questions de la théorie des anneaux en utilisant cette correspondance.
Q : Qu'est-ce qui rend ce domaine particulier unique parmi les autres sous-domaines de la géométrie ? R : Cette forte correspondance entre les questions sur les ensembles algébriques et les questions de la théorie des anneaux rend ce domaine particulier unique parmi les autres sous-domaines de la géométrie.
