Solution algébrique
Une solution algébrique est une expression algébrique qui est la solution d'une équation algébrique en termes de coefficients des variables. On ne la trouve que par addition, soustraction, multiplication, division et extraction de racines (racines carrées, racines cubiques, etc.).
L'exemple le plus connu est la solution de l'équation quadratique générale.
x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a , {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},}
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}
(où un ≠ 0).
Il existe une solution plus compliquée pour l'équation cubique générale et l'équation quartique. Le théorème d'Abel-Ruffini stipule que l'équation quintique générale n'a pas de solution algébrique. Cela signifie que l'équation polynomiale générale de degré n, pour n ≥ 5, ne peut pas être résolue en utilisant l'algèbre. Cependant, sous certaines conditions, nous pouvons obtenir des solutions algébriques ; par exemple, l'équation x 10 = a {\displaystyle x^{10}=a}
peut être résolue comme x = a 1 / 10 . {\displaystyle x=a^{1/10}. }
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce qu'une solution algébrique ?
R : Une solution algébrique est une expression algébrique qui est la solution d'une équation algébrique en termes de coefficients des variables. Elle peut être trouvée en utilisant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines (racines carrées, racines cubiques, etc.).
Q : Quel est un exemple bien connu de solution algébrique ?
R : L'exemple le plus connu est la solution de l'équation quadratique générale.
Q : Existe-t-il une solution plus compliquée pour les équations de degré supérieur ?
R : Oui, il existe une solution plus compliquée pour l'équation cubique générale et l'équation quartique.
Q : Toute équation polynomiale a-t-elle une solution algébrique ?
R : Non, selon le théorème d'Abel-Ruffini, l'équation quintique générale n'a pas de solution algébrique. Cela signifie que l'équation polynomiale générale de degré n, pour n ≥ 5 ne peut être résolue en utilisant uniquement l'algèbre.
Q : Existe-t-il des conditions sous lesquelles nous pouvons obtenir une solution algébrique pour les équations de degré supérieur ?
R : Oui, sous certaines conditions, nous pouvons obtenir une solution algébrique ; par exemple, l'équation x^10 = a peut être résolue sous la forme x = a^(1/10).
Q : Comment résoudre une équation quadratique ?
R : Pour résoudre une équation quadratique, vous devez utiliser l'addition, la soustraction, la multiplication et la division, ainsi qu'en extraire des racines carrées ou d'autres types de racines.
