La géométrie algébrique est une branche des mathématiques qui étudie les équations polynomiales. La géométrie algébrique moderne est basée sur des techniques plus abstraites d'algèbre abstraite, en particulier l'algèbre commutative, avec le langage et les problèmes de la géométrie.
Les principaux objets d'étude en géométrie algébrique sont les variétés algébriques, qui sont des manifestations géométriques d'ensembles de solutions de systèmes d'équations polynomiales. Les exemples des classes de variétés algébriques les plus étudiées sont : les courbes algébriques planes, qui comprennent les lignes, les cercles, les paraboles, les ellipses, les hyperboles, les courbes cubiques comme les courbes elliptiques et les courbes quartiques comme les lemniscates, et les ovales de Cassini. Un point du plan appartient à une courbe algébrique si ses coordonnées satisfont à une équation polynomiale donnée. Les questions de base impliquent l'étude des points d'intérêt particulier comme les points singuliers, les points d'inflexion et les points à l'infini. Les questions plus avancées concernent la topologie de la courbe et les relations entre les courbes données par différentes équations.
La géométrie algébrique occupe une place centrale dans les mathématiques modernes. Les concepts qu'elle utilise la relient à des domaines aussi divers que l'analyse complexe, la topologie et la théorie des nombres. Au début, la géométrie algébrique consistait à étudier des systèmes d'équations polynomiales dans plusieurs variables. La géométrie algébrique commence au point où la résolution d'équations s'arrête : Dans de nombreux cas, trouver les propriétés de toutes les solutions d'un ensemble donné d'équations est plus important que de trouver une solution particulière : cela conduit à certains des domaines les plus profonds de toutes les mathématiques, à la fois conceptuellement et en termes de technique.
Au XXe siècle, la géométrie algébrique s'est divisée en plusieurs sous-domaines.
- Le courant principal de la géométrie algébrique est consacré à l'étude des points complexes des variétés algébriques et plus généralement aux points de coordonnées dans un champ algébrique fermé.
- L'étude des points d'une variété algébrique avec des coordonnées dans le domaine des nombres rationnels ou dans un champ de nombres est devenue la géométrie arithmétique (ou plus classiquement la géométrie Diophantine), un sous-domaine de la théorie algébrique des nombres.
- L'étude des points réels d'une variété algébrique est le sujet de la géométrie algébrique réelle.
- Une grande partie de la théorie de la singularité est consacrée aux singularités des variétés algébriques.
- Lorsque les ordinateurs sont devenus plus courants, un domaine appelé "géomérie algébrique computationnelle" s'est développé. Il s'intéresse à l'intersection de la géométrie algébrique et de l'algèbre informatique. Il concerne le développement d'algorithmes et de logiciels pour étudier et trouver les propriétés de variétés algébriques explicitement données.
Une grande partie du développement du courant principal de la géométrie algébrique au 20e siècle s'est produite dans un cadre algébrique abstrait, l'accent étant de plus en plus mis sur les propriétés "intrinsèques" des variétés algébriques qui ne dépendent d'aucune façon particulière d'intégrer la variété dans un espace de coordonnées ambiant. Les développements de la topologie, de la géométrie différentielle et complexe se sont produits de la même manière. L'une des principales réalisations de cette géométrie algébrique abstraite est la théorie des schémas de Grothendieck qui permet d'utiliser la théorie des gerbes pour étudier les variétés algébriques d'une manière très similaire à son utilisation dans l'étude des variétés différentielles et analytiques. Ceci est obtenu en étendant la notion de point : en géométrie algébrique classique, un point d'une variété affine peut être identifié, par le Nullstellensatz de Hilbert, avec un idéal maximal de l'anneau de coordonnées, tandis que les points du schéma affine correspondant sont tous des idéaux premiers de cet anneau. Cela signifie qu'un point d'un tel schéma peut être soit un point habituel, soit une sous-variété. Cette approche permet également d'unifier le langage et les outils de la géométrie algébrique classique, qui concerne principalement les points complexes, et de la théorie algébrique des nombres. La preuve de Wiles de la conjecture de longue date appelée le dernier théorème de Fermat est un exemple de la puissance de cette approche.
