Équation polynomiale
En mathématiques, une équation algébrique, également appelée équation polynomiale sur un champ donné est une équation de la forme
P = Q {\displaystyle P=Q}
où P et Q sont des polynômes sur ce champ, et ont une (univariable) ou plusieurs (multivariable) variables. Par exemple :
y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}
est une équation algébrique sur les nombres rationnels.
Deux équations sont dites équivalentes si elles ont le même ensemble de solutions. Cela signifie que toutes les solutions de la deuxième équation doivent également être des solutions de la première et vice versa. L'équation P = Q {\displaystyle P=Q} est équivalente à P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}
. L'étude des équations algébriques est donc équivalente à l'étude des polynômes.
Si une équation algébrique est au-dessus des rationnels, elle peut toujours être convertie en une équation équivalente, où tous les coefficients sont des entiers. Par exemple, dans l'équation donnée ci-dessus, on multiplie par 42 = 2-3-7 et on regroupe les termes dans le premier membre. L'équation est convertie en
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0}
Les solutions d'une équation sont les valeurs des variables pour lesquelles l'équation est vraie. Mais pour les équations algébriques, il existe aussi des racines. Lors de la résolution d'une équation, nous devons dire dans quel ensemble les solutions sont permises. Par exemple, pour une équation sur les rationnels, on peut trouver des solutions dans les entiers. Ensuite, l'équation est une équation diophantine. On peut aussi chercher des solutions dans le domaine des nombres complexes. On peut aussi chercher des solutions dans le domaine des nombres réels.
Les mathématiciens anciens voulaient des solutions d'équations univariées (c'est-à-dire des équations avec une variable) sous forme d'expressions radicales, comme x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
pour la solution positive de x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}
. Les anciens Egyptiens savaient comment résoudre les équations de degré 2 (c'est-à-dire les équations dans lesquelles la puissance la plus élevée de la variable est 2) de cette manière. À la Renaissance, Gerolamo Cardano a résolu l'équation du degré 3 et Lodovico Ferrari a résolu l'équation du degré 4. Enfin, Niels Henrik Abel a prouvé en 1824 que l'équation du degré 5 et les équations du degré supérieur ne peuvent pas toujours être résolues en utilisant des radicaux. La théorie de Galois, nommée d'après Évariste Galois, a été introduite pour donner des critères permettant de décider si une équation peut être résolue en utilisant des radicaux.
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce qu'une équation algébrique ?
R : Une équation algébrique est une équation de la forme P = Q, où P et Q sont des polynômes sur un champ donné avec une ou plusieurs variables.
Q : Comment deux équations peuvent-elles être équivalentes ?
R : Deux équations sont considérées comme équivalentes si elles ont le même ensemble de solutions, ce qui signifie que toutes les solutions de l'une doivent également être des solutions de l'autre et vice versa.
Q : Que signifie résoudre une équation ?
R : Résoudre une équation signifie trouver les valeurs des variables qui rendent l'équation vraie. Ces valeurs sont appelées racines.
Q : Les équations algébriques sur des nombres rationnels peuvent-elles toujours être converties en équations à coefficients entiers ?
R : Oui, en multipliant les deux côtés par un nombre tel que 42 = 2-3-7 et en regroupant les termes du premier membre, toute équation algébrique sur des nombres rationnels peut être convertie en une équation à coefficients entiers.
Q : Quand les anciens mathématiciens ont-ils voulu des expressions radicales pour les équations à une variable ?
R : Les anciens mathématiciens voulaient des expressions radicales (comme x=1+√5/2) pour les équations univariées (équations à une variable) pendant la période de la Renaissance.
Q : Qui a résolu les équations de degré 3 et 4 à cette époque ?
R : Gerolamo Cardano a résolu des équations de degré 3 et Lodovico Ferrari a résolu des équations de degré 4 pendant cette période.
Q : Qui a prouvé que les équations de degré supérieur ne peuvent pas toujours être résolues à l'aide de radicaux ?
R : Niels Henrik Abel a prouvé en 1824 que les équations de degré supérieur ne peuvent pas toujours être résolues à l'aide de radicaux.
