Cylindre

Utilisation commune

Dans l'usage courant, un cylindre est considéré comme une section finie d'un cylindre circulaire droit, c'est-à-dire le cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires aux bases, avec ses extrémités fermées pour former deux surfaces circulaires, comme dans la figure (à droite). Si le cylindre a un rayon r et une longueur (hauteur) h, alors son volume est donné par :

V = πr2h

et sa surface est :

• la zone du haut ⁽πr2) +
• la zone du fond ⁽πr2) +
• la zone du côté (2πrh).

Par conséquent, sans le haut ou le bas (zone latérale), la surface est :

A = 2πrh.

Avec le haut et le bas, la surface est :

A = ^2πr2 + 2πrh = 2πr(r + h).

Pour un volume donné, le cylindre ayant la plus petite surface a h = 2r. Pour une surface donnée, le cylindre ayant le plus grand volume a h = 2r, c'est-à-dire que le cylindre tient dans un cube (hauteur = diamètre).

Volume

Avoir un cylindre circulaire droit avec une hauteur h unités et une base de rayon r unités avec les axes de coordonnées choisis de sorte que l'origine soit au centre d'une base et que la hauteur soit mesurée le long de l'axe x positif. Une section plane à une distance de x unités de l'origine a une surface de A(x) unités carrées où

A ( x ) = π r 2 {\displaystyle A(x)=\pi r^{2}}

ou

A ( y ) = π r 2 {\displaystyle A(y)=\pi r^{2}}

Un élément de volume, est un cylindre droit de surface de base Awi unités carrées et une épaisseur de Δix unités. Ainsi, si V unités cubiques est le volume du cylindre circulaire droit, par Riemann fait la somme,

V o l u m e d e c y l i n d e r = lim | | Δ → 0 | | ∑ i = 1 n A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {Volume\;of\;cylinder} =\lim _{||\Delta \to 0||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫ 0 h A ( y ) 2 d y {\displaystyle =\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy}

= ∫ 0 h π r 2 d y {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r 2 h {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

En utilisant des coordonnées cylindriques, le volume peut être calculé par intégration sur

= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz}

= π r 2 h {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Section cylindrique

Les sections cylindriques sont les intersections des cylindres avec les plans. Pour un cylindre circulaire droit, il existe quatre possibilités. Un plan tangent au cylindre, rencontre le cylindre en une seule ligne droite. Déplacé parallèlement à lui-même, le plan soit ne coupe pas le cylindre, soit le coupe en deux lignes parallèles. Tous les autres plans coupent le cylindre en une ellipse ou, lorsqu'ils sont perpendiculaires à l'axe du cylindre, en un cercle.

Autres types de cylindres

Un cylindre elliptique, ou cylindroïde, est une surface quadrique, dont l'équation suivante est en coordonnées cartésiennes :

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1.

Cette équation concerne un cylindre elliptique, une généralisation du cylindre circulaire ordinaire (a = b). Le cylindre généralisé est encore plus général : la section transversale peut être n'importe quelle courbe.

Le cylindre est un quadrique dégénéré car au moins une des coordonnées (dans ce cas z) n'apparaît pas dans l'équation.

Un cylindre oblique a les surfaces supérieure et inférieure décalées l'une par rapport à l'autre.

Il existe d'autres types de cylindres plus inhabituels. Ce sont les cylindres elliptiques imaginaires :

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = - 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1}

le cylindre hyperbolique :

( x a ) 2 - ( y b ) 2 = 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}

et le cylindre parabolique :

x 2 + 2 a y = 0.

Un cylindre elliptique


En géométrie projective, un cylindre est simplement un cône dont le sommet est à l'infini, ce qui correspond visuellement à un cylindre en perspective apparaissant comme un cône vers le ciel.

Géométrie projective

En géométrie projective, un cylindre est simplement un cône dont le sommet est à l'infini.

Ceci est utile pour la définition des coniques dégénérées, qui nécessitent de considérer les coniques cylindriques.