4-polytope régulier convexe
En mathématiques, un 4-polytope régulier convexe (ou polychoron) est un polytope à 4 dimensions (4D) qui est à la fois régulier et convexe. Ce sont les analogues quadridimensionnels des solides de Platon (en trois dimensions) et des polygones réguliers (en deux dimensions).
Ces polytopes ont été décrits pour la première fois par le mathématicien suisse Ludwig Schläfli au milieu du XIXe siècle. Schläfli a découvert qu'il existe précisément six de ces chiffres. Cinq d'entre elles peuvent être considérées comme des analogues de dimensions supérieures des solides de Platon. Il existe une autre figure (la 24ème cellule) qui n'a pas d'équivalent tridimensionnel.
Chaque 4-polytope régulier convexe est délimité par un ensemble de cellules tridimensionnelles qui sont toutes des solides de Platon de même type et de même taille. Ces cellules sont assemblées de façon régulière le long de leurs faces respectives.
Propriétés
Les tableaux suivants énumèrent certaines propriétés des six polychores régulières convexes. Les groupes de symétrie de ces polychores sont tous des groupes de Coxeter et sont donnés dans la notation décrite dans cet article. Le numéro qui suit le nom du groupe est l'ordre du groupe.
| Noms | Famille | Schläflisymbol | Vertices | Edges | Visages | Cellules | Les chiffres du sommet | Double polytope | Groupe de symétrie | |
| Pentachoron5-cellpentatopehyperpyramidhypertétraèdre4-simplex | simplex | {3,3,3} | 5 | 10 | 10triangles | 5tétraèdres | tétraèdre | (auto-duplication) | A4 | 120 |
| Tesseractoctachoron8-cellhypercube4-cube | hypercube | {4,3,3} | 16 | 32 | 24 carrés | 8cubes | tétraèdre | 16 cellules | B4 | 384 |
| Hexadecachoron16-cellorthoplex | cross-polytope | {3,3,4} | 8 | 24 | 32triangles | 16tétraèdres | octahedra | tesseract | B4 | 384 |
| Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoctaèdre | {3,4,3} | 24 | 96 | 96triangles | 24octahedra | cubes | (auto-duplication) | F4 | 1152 | |
| Hécatonicosachoron120-celldodécaplexhyperdodécaèdrepolydodécaèdre | {5,3,3} | 600 | 1200 | 720pentagones | 120dodécaèdres | tétraèdre | 600-cellule | H4 | 14400 | |
| Hexacosichoron600-celltetraplexhypericosahedronpolytetrahedron | {3,3,5} | 120 | 720 | 1200 | 600 tétraèdres | icosahedra | 120 cellules | H4 | 14400 | |
Comme les limites de chacune de ces figures sont topologiquement équivalentes à une 3-sphère, dont la caractéristique d'Euler est zéro, nous avons l'analogue quadridimensionnel de la formule polyédrique d'Euler :
N 0 - N 1 + N 2 - N 3 = 0 {\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,}
où Nk désigne le nombre de faces k dans le polytope (un sommet est une face 0, un bord est une face 1, etc.
Visualisations
Le tableau suivant montre quelques projections bidimensionnelles de ces polytopes. Diverses autres visualisations peuvent être trouvées dans les autres sites web ci-dessous. Les graphiques du diagramme de Coxeter-Dynkin sont également donnés sous le symbole Schläfli.
| 5 cellules | 8-cellules | 16 cellules | 24 cellules | 120 cellules | 600-cellule |
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
|
|
|
|
|
|
|
| Projections orthographiques filaires à l'intérieur des polygones de Petrie. | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| Projections orthographiques solides | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| Diagrammes Schlegel en fil de fer (projection en perspective) | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| Projections stéréographiques filaires (Hypersphériques) | |||||
|
|
|
|
|
|
|
Pages connexes
- Polytope régulier
- Solide platonique
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce qu'un polytope convexe régulier ?
R : Un 4-polytope régulier convexe est un polytope à 4 dimensions qui est à la fois régulier et convexe.
Q : Quels sont les analogues des 4-polytopes réguliers convexes en trois et deux dimensions ?
R : Les analogues des 4-polytopes réguliers convexes en trois dimensions sont les solides de Platon, tandis qu'en deux dimensions, ce sont les polygones réguliers.
Q : Qui a été le premier à décrire les 4-polytopes réguliers convexes ?
R : Le mathématicien suisse Ludwig Schläfli a été le premier à décrire les 4-polytopes réguliers convexes au milieu du 19e siècle.
Q : Combien y a-t-il de 4-polytopes réguliers convexes ?
R : Il y a précisément six polytopes convexes réguliers.
Q : Quelle est la particularité du polytope à 24 cellules parmi les 4-polytopes réguliers convexes ?
R : Le polytope à 24 cellules n'a pas d'équivalent tridimensionnel parmi les 4-polytopes réguliers convexes.
Q : Quelles sont les cellules tridimensionnelles qui délimitent chaque polytope 4 régulier convexe ?
R : Chaque polytope 4 régulier convexe est délimité par un ensemble de cellules tridimensionnelles qui sont toutes des solides de Platon de même type et de même taille.
Q : Comment les cellules tridimensionnelles s'emboîtent-elles dans un polytope 4 régulier convexe ?
R : Les cellules tridimensionnelles s'emboîtent le long de leurs faces respectives de façon régulière dans un polytope 4 convexe régulier.
