4-polytope régulier convexe

En mathématiques, un 4-polytope régulier convexe (ou polychoron) est un polytope à 4 dimensions (4D) qui est à la fois régulier et convexe. Ce sont les analogues quadridimensionnels des solides de Platon (en trois dimensions) et des polygones réguliers (en deux dimensions).

Ces polytopes ont été décrits pour la première fois par le mathématicien suisse Ludwig Schläfli au milieu du XIXe siècle. Schläfli a découvert qu'il existe précisément six de ces chiffres. Cinq d'entre elles peuvent être considérées comme des analogues de dimensions supérieures des solides de Platon. Il existe une autre figure (la 24ème cellule) qui n'a pas d'équivalent tridimensionnel.

Chaque 4-polytope régulier convexe est délimité par un ensemble de cellules tridimensionnelles qui sont toutes des solides de Platon de même type et de même taille. Ces cellules sont assemblées de façon régulière le long de leurs faces respectives.

Propriétés

Les tableaux suivants énumèrent certaines propriétés des six polychores régulières convexes. Les groupes de symétrie de ces polychores sont tous des groupes de Coxeter et sont donnés dans la notation décrite dans cet article. Le numéro qui suit le nom du groupe est l'ordre du groupe.

Noms

Famille

Schläflisymbol

Vertices

Edges

Visages

Cellules

Les chiffres du sommet

Double polytope

Groupe de symétrie

Pentachoron5-cellpentatopehyperpyramidhypertétraèdre4-simplex

simplex
(n-simplex)

{3,3,3}

5

10

10triangles

5tétraèdres

tétraèdre

(auto-duplication)

A4

120

Tesseractoctachoron8-cellhypercube4-cube

hypercube
(n-cube)

{4,3,3}

16

32

24 carrés

8cubes

tétraèdre

16 cellules

B4

384

Hexadecachoron16-cellorthoplex
hyperoctaèdre4-orthoplex

cross-polytope
(n-orthoplex)

{3,3,4}

8

24

32triangles

16tétraèdres

octahedra

tesseract

B4

384

Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoctaèdre

{3,4,3}

24

96

96triangles

24octahedra

cubes

(auto-duplication)

F4

1152

Hécatonicosachoron120-celldodécaplexhyperdodécaèdrepolydodécaèdre

{5,3,3}

600

1200

720pentagones

120dodécaèdres

tétraèdre

600-cellule

H4

14400

Hexacosichoron600-celltetraplexhypericosahedronpolytetrahedron

{3,3,5}

120

720

1200
triangles

600 tétraèdres

icosahedra

120 cellules

H4

14400

Comme les limites de chacune de ces figures sont topologiquement équivalentes à une 3-sphère, dont la caractéristique d'Euler est zéro, nous avons l'analogue quadridimensionnel de la formule polyédrique d'Euler :

N 0 - N 1 + N 2 - N 3 = 0 {\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,}{\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,}

Nk désigne le nombre de faces k dans le polytope (un sommet est une face 0, un bord est une face 1, etc.

Visualisations

Le tableau suivant montre quelques projections bidimensionnelles de ces polytopes. Diverses autres visualisations peuvent être trouvées dans les autres sites web ci-dessous. Les graphiques du diagramme de Coxeter-Dynkin sont également donnés sous le symbole Schläfli.

5 cellules

8-cellules

16 cellules

24 cellules

120 cellules

600-cellule

{3,3,3}

{4,3,3}

{3,3,4}

{3,4,3}

{5,3,3}

{3,3,5}

Projections orthographiques filaires à l'intérieur des polygones de Petrie.

Projections orthographiques solides


enveloppe tétraédrique
 (centrée sur la cellule/le sommet)


enveloppe cubique
 (centrée sur la cellule)


enveloppe octaédrique
 (centrée sur le sommet)


enveloppe cuboctaédrique
 (centrée sur la cellule)


enveloppe tronquée en forme de rhombictriacontahedronen
(centrée sur la cellule)


Pentakis icosidodécaèdreenveloppe
(centré sur le sommet)

Diagrammes Schlegel en fil de fer (projection en perspective)


(Centré sur la cellule)


(Centré sur la cellule)


(Centré sur la cellule)


(Centré sur la cellule)


(Centré sur la cellule)


(centré sur le sommet)

Projections stéréographiques filaires (Hypersphériques)

Pages connexes

  • Polytope régulier
  • Solide platonique

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce qu'un polytope convexe régulier ?


R : Un 4-polytope régulier convexe est un polytope à 4 dimensions qui est à la fois régulier et convexe.

Q : Quels sont les analogues des 4-polytopes réguliers convexes en trois et deux dimensions ?


R : Les analogues des 4-polytopes réguliers convexes en trois dimensions sont les solides de Platon, tandis qu'en deux dimensions, ce sont les polygones réguliers.

Q : Qui a été le premier à décrire les 4-polytopes réguliers convexes ?


R : Le mathématicien suisse Ludwig Schläfli a été le premier à décrire les 4-polytopes réguliers convexes au milieu du 19e siècle.

Q : Combien y a-t-il de 4-polytopes réguliers convexes ?


R : Il y a précisément six polytopes convexes réguliers.

Q : Quelle est la particularité du polytope à 24 cellules parmi les 4-polytopes réguliers convexes ?


R : Le polytope à 24 cellules n'a pas d'équivalent tridimensionnel parmi les 4-polytopes réguliers convexes.

Q : Quelles sont les cellules tridimensionnelles qui délimitent chaque polytope 4 régulier convexe ?


R : Chaque polytope 4 régulier convexe est délimité par un ensemble de cellules tridimensionnelles qui sont toutes des solides de Platon de même type et de même taille.

Q : Comment les cellules tridimensionnelles s'emboîtent-elles dans un polytope 4 régulier convexe ?


R : Les cellules tridimensionnelles s'emboîtent le long de leurs faces respectives de façon régulière dans un polytope 4 convexe régulier.

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