Hypothèse du continu
L'hypothèse du continuum est une hypothèse selon laquelle il n'existe pas d'ensemble à la fois plus grand que celui des nombres naturels et plus petit que celui des nombres réels. Georg Cantor a énoncé cette hypothèse en 1877.
Il existe une infinité de nombres naturels, la cardinalité de l'ensemble des nombres naturels est infinie. Cela est également vrai pour l'ensemble des nombres réels, mais il y a plus de nombres réels que de nombres naturels. Nous disons que les nombres naturels ont une cardinalité infinie et que les nombres réels ont une cardinalité infinie, mais la cardinalité des nombres réels est plus grande que celle des nombres naturels.
Cette hypothèse est le premier problème sur la liste des 23 problèmes que David Hilbert a publiée en 1900. Kurt Gödel a montré en 1939, que l'hypothèse ne peut pas être falsifiée en utilisant la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel est la théorie des ensembles couramment utilisée en mathématiques. Paul Cohen a montré dans les années 1960 que la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel ne peut pas non plus être utilisée pour prouver l'hypothèse du continuum. Pour cela, Cohen a reçu la médaille Fields.
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce que l'hypothèse du continuum ?
R : L'hypothèse du continuum est une hypothèse selon laquelle il n'existe pas d'ensemble qui soit à la fois plus grand que celui des nombres naturels et plus petit que celui des nombres réels.
Q : Qui a énoncé l'hypothèse du continuum et quand ?
R : Georg Cantor a énoncé l'hypothèse du continuum en 1877.
Q : Existe-t-il une infinité de nombres naturels ?
R : Oui, il y a une infinité de nombres naturels.
Q : Quelle est la cardinalité de l'ensemble des entiers naturels ?
R : La cardinalité de l'ensemble des entiers naturels est infinie.
Q : Y a-t-il plus de nombres réels que de nombres naturels ?
R : Oui, il y a plus de nombres réels que de nombres naturels.
Q : L'hypothèse du continuum peut-elle être falsifiée à l'aide de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel ?
R : Kurt Gödel a montré en 1939 que l'hypothèse ne peut pas être falsifiée en utilisant la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel.
Q : Qui a montré que la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel ne peut pas être utilisée pour prouver l'hypothèse du continuum ?
R : Paul Cohen a montré dans les années 1960 que la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel ne pouvait pas être utilisée pour prouver l'hypothèse du continuum.
