Fonction constante

Propriétés de base

Formellement, une fonction constante f(x):R→R a la forme f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} . Habituellement, nous écrivons y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} ou simplement y = c {\displaystyle y=c} .

• La fonction y=c a 2 variables x et у et 1 constante c. (Dans cette forme de la fonction, on ne voit pas x, mais il est là).
• La constante c est un nombre réel. Avant de travailler avec une fonction linéaire, nous remplaçons c par un nombre réel.
• Le domaine ou l'entrée de y=c est R. Ainsi, tout nombre réel x peut être entré. Cependant, la sortie est toujours la valeur c.
• La plage de y=c est également R. Cependant, comme la sortie est toujours la valeur de c, le codomaine est juste c.

Exemple : La fonction y ( x ) = 4 {\style d'affichage y(x)=4} ou juste y = 4 {\style d'affichage y=4} est la fonction constante spécifique où la valeur de sortie est c = 4 {\style d'affichage c=4} . Le domaine est constitué de tous les nombres réels ℝ. Le codomaine est juste {4}. A savoir, y(0)=4, y(-2,7)=4, y(π)=4,.... Quelle que soit la valeur de x en entrée, la sortie est "4".

• Le graphique de la fonction constante y = c est une ligne horizontale dans le plan qui passe par le point ( 0 , c ) .
• Si c≠0, la fonction constante y=c est un polynôme dans une variable x de degré zéro.
• L'ordonnée à l'origine de cette fonction est le point (0,c).
• Cette fonction n'a pas d'interception x. C'est-à-dire qu'elle n'a pas de racine ou de zéro. Elle ne croise jamais l'axe des x.
• Si c=0, alors nous avons y=0. C'est le polynôme zéro ou la fonction identiquement zéro. Tout nombre réel x est une racine. Le graphique de y=0 est l'axe des x dans le plan.
• Une fonction constante est une fonction paire, l'axe des y est donc un axe de symétrie pour chaque fonction constante.

Dérivé d'une fonction constante

Dans le contexte où elle est définie, la dérivée d'une fonction mesure le taux de changement des valeurs de la fonction (sortie) par rapport au changement des valeurs d'entrée. Une fonction constante ne change pas, sa dérivée est donc 0, ce qui s'écrit souvent :   ( c ) ′ = 0 {\displaystyle (c)'=0} .

Exemple : y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}} est une fonction constante. La dérivée de y est la fonction identiquement nulle y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0} .

L'inverse (opposé) est également vrai. C'est-à-dire que si la dérivée d'une fonction est nulle partout, alors la fonction est une fonction constante.

Mathématiquement, nous écrivons ces deux déclarations :

y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle y(x)=c\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\forall x\in \mathbb {R} } }

Généralisation

Une fonction f : A → B est une fonction constante si f(a) = f(b) pour chaque a et b dans A.

Exemples

Exemple concret : Un magasin où chaque article est vendu pour 1 euro. Le domaine de cette fonction est celui des articles du magasin. Le codomaine est 1 euro.

Exemple : Soit f : A → B où A={X,Y,Z,W} et B={1,2,3} et f(a)=3 pour chaque a∈A. Alors f est une fonction constante.

Exemple : z(x,y)=2 est la fonction constante de A=ℝ² à B=ℝ où chaque point (x,y)∈ℝ² est mis en correspondance avec la valeur z=2. Le graphique de cette fonction constante est le plan horizontal (parallèle au plan x0y) dans l'espace tridimensionnel qui passe par le point (0,0,2).

Exemple : La fonction polaire ρ(φ)=2,5 est la fonction constante qui fait correspondre chaque angle φ au rayon ρ=2,5. Le graphique de cette fonction est le cercle de rayon 2,5 dans le plan.

Autres propriétés

Il existe d'autres propriétés des fonctions constantes. Voir la fonction constante sur Wikipedia en anglais

Pages connexes

• Fonction
• Polynôme