Variables conjuguées (formalisme hamiltonien)
Les variables conjuguées sont des paires spéciales de variables (comme x, y, z) qui ne donnent pas le même résultat lorsque vous effectuez une certaine opération mathématique avec elles. Cela signifie que x*y n'est pas égal à y*x. Ici, le * ne signifie pas une multiplication. Il peut signifier addition, soustraction, division, ou toute opération qui a un sens, dans ce cas.
Un physicien, Werner Heisenberg, et ses collègues ont utilisé des équations étudiées en physique classique pour décrire et prédire des événements de la physique quantique. Il a découvert que le moment cinétique (masse multipliée par la vitesse, représentée par P) et la position (représentée par Q) sont des variables conjuguées. Cela signifie que P*Q n'est pas égal à Q*P, en physique quantique.
Voici deux équations spéciales pour calculer l'énergie d'un électron (petite chose verte) dans un atome d'hydrogène.
La première équation pourrait être utilisée pour déterminer le produit de l'élan et de la position :
Y ( n , n - b ) = ∑ a p ( n , n - a ) q ( n - a , n - b ) {\displaystyle Y(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,p(n,n-a)q(n-a,n-b)}
La deuxième équation pourrait être utilisée pour calculer le produit de la position et de l'élan :
Z ( n , n - b ) = ∑ a q ( n , n - a ) p ( n - a , n - b ) {\displaystyle Z(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,q(n,n-a)p(n-a,n-b)}
Quelque temps plus tard, un autre physicien, Max Born, a découvert que, puisque P*Q n'est pas égal à Q*P, le résultat de Q*P moins P*Q n'est pas nul. (Le "moins" n'est pas le même moins que "3 - 2". C'est une chose différente qui porte le même nom).
Born l'a découvert :
Q ∗ P - P ∗ Q = i h 2 π {\displaystyle {Q*P-P*Q={\frac {ih}{2\pi }}}}
[Le symbole Q est la matrice de la position, P est la matrice de la quantité de mouvement, i est un nombre complexe, et h est la constante de Planck, un nombre qui apparaît souvent en mécanique quantique].
Les variables conjuguées ont des applications dans toute la physique, en chimie et dans un tas d'autres domaines scientifiques.
Questions et réponses
Q : Que sont les variables conjuguées ?
R : Les variables conjuguées sont des paires spéciales de variables (comme x, y, z) qui ne donnent pas le même résultat lorsque vous effectuez une certaine opération mathématique avec elles. Cela signifie que x*y n'est pas égal à y*x.
Q : Qui a découvert les variables conjuguées ?
R : Le physicien Werner Heisenberg et ses collègues ont utilisé des équations étudiées en physique classique pour décrire et prédire des événements issus de la physique quantique. Il a découvert que la quantité de mouvement (masse multipliée par la vitesse, représentée par P) et la position (représentée par Q) sont des variables conjuguées.
Q : Quelle équation peut être utilisée pour calculer le produit de la quantité de mouvement et de la position ?
R : La première équation peut être utilisée pour trouver le produit de la quantité de mouvement et de la position : Y(n,n-b)=∑a p(n,n-a)q(n-a,n-b).
Q : Quelle équation peut être utilisée pour calculer le produit de la position et de la quantité de mouvement ?
R : La deuxième équation peut être utilisée pour calculer le produit de la position et de la quantité de mouvement : Z(n,n-b)=∑a q(n,n-a)p(n-a, n-b).
Q : Qu'a découvert Max Born à propos des variables conjuguées ?
R : Max Born a découvert que parce que P*Q n'est pas égal à Q*P, le résultat de Q*P moins P*Q n'est pas nul. Il a également découvert que Q-P - P-Q = ih/2π.
Q : Comment la constante de Planck apparaît-elle dans la mécanique quantique ?
R : La constante de Planck apparaît souvent en mécanique quantique car elle figure dans l'équation de Max Born pour calculer les produits de variables conjuguées ; plus précisément sous la forme de h/2π d'un côté du signe égal.
Q : Dans quels domaines les variables conjuguées ont-elles des applications ?
R : Les variables conjuguées ont des applications dans tous les domaines de la physique, de la chimie et d'autres domaines scientifiques.
