Congruence
En géométrie, deux figures ou objets sont congruents s'ils ont la même forme et la même taille. Il en va de même si l'un a la même forme et la même taille que l'image miroir de l'autre.
Plus formellement, deux ensembles de points sont appelés congruents si, et seulement si, l'un peut être transformé en l'autre par l'isométrie. Pour l'isométrie, on utilise des mouvements rigides.
Cela signifie qu'un objet peut être repositionné et réfléchi (mais pas redimensionné) de manière à coïncider exactement avec l'autre objet. Ainsi, deux figures planes distinctes sur un morceau de papier sont congruentes si nous pouvons les découper et les faire correspondre complètement. Il est permis de retourner le papier.
Les polygones congruents sont des polygones qui, si vous pliez un polygone régulier en deux, sont des polygones congruents.
Deux formes géométriques sont congruentes si l'une d'entre elles peut être déplacée ou tournée de manière à s'adapter exactement à l'autre. Si l'un des objets doit changer de taille, les deux objets ne sont pas congruents : ils sont simplement appelés similaires.
Si deux figures ou objets sont congruents, ils ont la même forme et la même taille ; mais ils peuvent être tournés, déplacés, réfléchis ou translatés, de sorte qu'ils s'ajustent exactement à l'endroit où se trouve l'autre.
Un exemple de congruence. Les deux triangles de gauche sont congruents, tandis que le troisième leur ressemble. Le dernier triangle n'est ni similaire ni congruent à aucun des autres. Notez que la congruence permet de modifier certaines propriétés, telles que l'emplacement et l'orientation, mais en laisse d'autres inchangées, comme la distance et les angles. Les propriétés inchangées sont appelées invariantes.
Exemples
- tous les carrés qui ont la même longueur de côté sont congruents.
- tous les triangles équilatéraux qui ont la même longueur de côté sont congruents.
Tests de congruence
- Deux angles et le côté entre eux sont les mêmes sur deux triangles (congruence ASA)
- Deux angles et un côté non compris entre eux sont les mêmes sur les deux triangles (congruence AAS)
- Les trois côtés des deux triangles sont identiques (congruence SSS)
- deux côtés et l'angle entre eux rend 2 triangles congruents (congruence SAS)
Comment pouvons-nous obtenir de nouvelles formes congruentes ?
Nous disposons de nombreuses possibilités, de quelques règles pour rendre les nouvelles formes congruentes à l'original.
- Si nous déplaçons une forme géométrisée dans le plan, nous obtenons une forme qui est congruente à celle d'origine.
- Si nous tournons au lieu de nous déplacer, alors nous obtenons également une forme congruente à celle d'origine.
- Même si nous prenons une image miroir de la forme originale, nous obtenons une forme congruente.
- Si nous combinons les trois activités l'une après l'autre, nous obtenons toujours des formes congruentes.
- Il n'y a plus de formes congruentes. Plus précisément, cela signifie que si une forme est congruente à la forme originale, elle peut être atteinte par les trois activités décrites ci-dessus.
La relation, selon laquelle une forme est congruente à une autre forme, a trois propriétés célèbres.
- Si nous laissons la forme originale seule à son emplacement d'origine, alors elle est congruente à elle-même. Ce comportement, cette propriété s'appelle la réflexivité.
Par exemple, si le déplacement ci-dessus n'est pas un déplacement correct, mais seulement un déplacement faisant un mouvement de longueur zéro. Ou, de même, si la rotation ci-dessus n'est pas une rotation correcte, mais seulement une rotation d'angle zéro.
- Si une forme est congruente à une autre forme, alors cette autre forme est également congruente à la forme originale. Ce comportement, cette propriété est appelée symétrie.
Par exemple, si nous revenons en arrière, ou si nous tournons en arrière, ou si nous inversons la nouvelle forme par rapport à l'originale, alors la forme originale est congruente à la nouvelle.
- Si une forme C est congruente à une forme B, et que la forme B est congruente à la forme originale A, alors la forme C est également congruente à la forme originale A. Ce comportement, cette propriété est appelée transitivité.
Par exemple, si nous appliquons d'abord un décalage, puis une rotation, la nouvelle forme résultante est toujours congruente à la forme originale.
Les fameuses trois propriétés, réflexivité, symétrie et transitivité, forment ensemble la notion d'équivalence. Ainsi, la congruence des propriétés est une sorte de relation d'équivalence entre les formes d'un plan.
Questions et réponses
Q : Que signifie la congruence de deux figures en géométrie ?
R : Deux figures sont congruentes en géométrie si elles ont la même forme et la même taille, ou si l'une d'elles a la même forme et la même taille que l'image miroir de l'autre.
Q : Comment appelle-t-on deux ensembles de points congruents ?
R : Deux ensembles de points sont dits congruents si et seulement si l'un peut être transformé en l'autre par isométrie.
Q : À quoi servent les mouvements rigides en isométrie ?
R : Les mouvements rigides sont utilisés en isométrie pour repositionner, faire pivoter ou réfléchir des figures géométriques sans les redimensionner, afin qu'elles coïncident exactement avec d'autres objets.
Q : Deux figures peuvent-elles être congruentes si l'une d'entre elles doit changer de taille pour coïncider avec l'autre ?
R : Non, si l'un des objets doit changer de taille pour coïncider avec l'autre, alors les deux objets ne sont pas congruents, mais ils sont dits similaires.
Q : Que peut-on dire de la congruence de deux figures planes distinctes sur une feuille de papier ?
R : Deux figures planes distinctes sur une feuille de papier sont congruentes si nous pouvons les découper et les faire correspondre complètement, en retournant la feuille si nécessaire.
Q : Que sont les polygones congruents ?
R : Les polygones congruents sont des polygones qui peuvent être pliés en deux pour former un autre polygone régulier qui est également congruent.
Q : Quel est le critère pour que deux objets soient considérés comme congruents en géométrie ?
R : Le critère pour que deux objets soient dits congruents en géométrie est qu'un objet puisse être repositionné, tourné ou réfléchi de façon à coïncider exactement avec l'autre objet, sans changer sa taille.
