Nombre complexe
Un nombre complexe est un nombre, mais il est différent des nombres communs à bien des égards. Un nombre complexe est constitué de deux nombres combinés. La première partie est un nombre réel. La deuxième partie d'un nombre complexe est un nombre imaginaire. Le nombre imaginaire le plus important est appelé i,
défini comme un nombre qui sera -1 au carré ("au carré" signifie "multiplié par lui-même") : i 2 = i × i = - 1
. Tous les autres nombres imaginaires sont des i {displaystyle i} multipliés par un nombre réel, de la même manière que tous les nombres réels peuvent être considérés comme 1 multiplié par un autre nombre. Les fonctions arithmétiques telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division peuvent être utilisées avec les nombres complexes. Elles suivent également des propriétés commutatives, associatives et distributives, tout comme les nombres réels.
Des nombres complexes ont été découverts en essayant de résoudre des équations spéciales qui contiennent des exposants. Celles-ci ont commencé à poser de véritables problèmes aux mathématiciens. À titre de comparaison, en utilisant des nombres négatifs, il est possible de trouver le x dans l'équation a + x = b {\style d'affichage a+x=b}
pour toutes les valeurs réelles de a et b, mais si seuls des nombres positifs sont autorisés pour x, il est parfois impossible de trouver un x positif, comme dans l'équation 3 + x = 1.
Avec l'exponentiation, il y a une difficulté à surmonter. Il n'y a pas de nombre réel qui donne -1 au carré. En d'autres termes, -1 (ou tout autre nombre négatif) n'a pas de racine carrée réelle. Par exemple, il n'y a pas de nombre réel x
qui résout ( x + 1 ) 2 = - 9
. Pour résoudre ce problème, les mathématiciens ont introduit un symbole i et l'ont appelé un nombre imaginaire. C'est le nombre imaginaire qui donnera -1 quand il sera au carré.
Les premiers mathématiciens à y avoir pensé sont probablement Gerolamo Cardano et Raffaele Bombelli. Ils ont vécu au XVIe siècle. C'est probablement Leonhard Euler qui a introduit l'écriture i {\displaystyle \mathrm {i} }
pour ce numéro.
Tous les nombres complexes peuvent s'écrire a + b i
(ou a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), où a est appelé la partie réelle du nombre, et b la partie imaginaire. On écrit ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)}
ou Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
pour la partie réelle d'un nombre complexe z {\displaystyle z}
. Donc, si z = a + b i {style d'affichage z=a+bi}
, on écrit a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {style d'affichage a=\Re (z)=\nom de l'opérateur {Re} (z)}
. De même, nous écrivons ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)}
ou Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
pour la partie imaginaire d'un nombre complexe z {\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\nom de l'opérateur {Im} (z)}
pour le même z. Chaque nombre réel est également un nombre complexe ; c'est un nombre complexe z avec ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
.
Le nombre complexe peut également être écrit sous la forme d'une paire ordonnée, (a, b). a et b sont tous deux des nombres réels. Tout nombre réel peut simplement être écrit comme a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i}
ou comme la paire (a, 0).
Parfois,
j est écrit au lieu de i. En électrotechnique, i signifie courant électrique. L'écriture de i peut poser de nombreux problèmes car certains nombres en électrotechnique sont complexes.
L'ensemble de tous les nombres complexes s'écrit généralement comme C {\displaystyle \mathbb {C} }
.
Opérations sur des nombres complexes
L'addition, la soustraction, la multiplication, la division tant que le diviseur n'est pas nul, et l'exponentiation (élever des nombres en exposant) sont toutes possibles avec des nombres complexes. Certains autres calculs sont également possibles avec des nombres complexes.
La règle pour l'addition et la soustraction de nombres complexes est assez simple :
Soit z = ( a + b i ) , w = ( c + d i )
Si l'on veut que l'affichage soit plus clair, il faut que l'affichage soit plus clair, et si l'on veut que l'affichage soit plus clair, alors z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i
et z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
.
La multiplication est un peu différente :
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. }
Une autre opération notable pour les nombres complexes est la conjugaison. Un conjugué complexe z ¯ {style d'affichage {z}}}
à z = a + b i {style d'affichage z=a+bi} est a - b i {style d'affichage a-bi}
. C'est assez simple, mais c'est important pour les calculs, car z × z ¯ zfois fait partie des
nombres réels pour tous les complexes z :
z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}
.
Nous pouvons l'utiliser pour faire la division :
1 z = z ¯ z z ¯ = a - b b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i}
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). }
Autres formes de description des nombres complexes
Les nombres complexes peuvent être affichés sur un plan dit complexe. Si vous disposez d'un nombre z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} , vous pouvez aller à un point sur l'axe réel et à b sur l'axe imaginaire et dessiner un vecteur de ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)}
à ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}
. La longueur de ce vecteur peut être calculée à l'aide du théorème de Pythagore et de l'angle entre l'axe réel positif et ce vecteur, en allant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. La longueur d'un vecteur pour un nombre z est appelée son module (écrit comme | z |)
, et l'angle est appelé son argument ( arg z )
.
Cela conduit à la forme trigonométrique de la description des nombres complexes : par les définitions du sinus et du cosinus, pour tous les z
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). }
Ceci est étroitement lié à la formule de De Moivre.
Il existe même une autre forme, appelée forme exponentielle.
Un nombre complexe peut être représenté visuellement sous la forme de deux nombres qui forment un vecteur sur un diagramme Argand, représentant le plan complexe.
Conclusion
Avec l'ajout de nombres complexes aux mathématiques, chaque polynôme à coefficients complexes a des racines qui sont des nombres complexes. L'ajout réussi des nombres complexes aux mathématiques a également contribué à ouvrir la voie à la création d'autres sortes de nombres qui pourraient résoudre et aider à expliquer de nombreux problèmes différents, par exemple les : nombres hypercomplexes, sédénions, nombres hyperréels, nombres surréels et bien d'autres. Voir types de nombres.
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce qu'un nombre complexe ?
R : Un nombre complexe est un nombre composé de deux parties, la première étant un nombre réel et la seconde un nombre imaginaire.
Q : Quel est le nombre imaginaire le plus important ?
R : Le nombre imaginaire le plus important est appelé i, qui est défini comme un nombre qui sera -1 lorsqu'il sera élevé au carré.
Q : Comment les fonctions arithmétiques sont-elles utilisées avec les nombres complexes ?
R : Les fonctions arithmétiques telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division peuvent être utilisées avec les nombres complexes. Elles suivent également les propriétés commutatives, associatives et distributives, tout comme les nombres réels.
Q : Quel symbole représente l'ensemble des nombres complexes ?
R : L'ensemble des nombres complexes est souvent représenté à l'aide du symbole C.
Q : Pourquoi les nombres complexes ont-ils été découverts ?
R : Les nombres complexes ont été découverts en tentant de résoudre des équations spéciales contenant des exposants, car ils posaient de réels problèmes aux mathématiciens.
Q : Qui a introduit l'écriture i pour ce type de nombre ?
R : C'est probablement Leonhard Euler qui a introduit l'écriture i pour ce type de nombre.
Q : Comment peut-on écrire un nombre complexe sous la forme d'une paire ordonnée ?
R : Un nombre complexe peut être écrit comme une paire ordonnée (a, b), où a et b sont tous deux des nombres réels.
