Un nombre complexe est un nombre, mais il est différent des nombres communs à bien des égards. Un nombre complexe est constitué de deux nombres combinés. La première partie est un nombre réel. La deuxième partie d'un nombre complexe est un nombre imaginaire. Le nombre imaginaire le plus important est appelé i,
défini comme un nombre qui sera -1 au carré ("au carré" signifie "multiplié par lui-même") : i 2 = i × i = - 1
. Tous les autres nombres imaginaires sont des i {displaystyle i} multipliés par un nombre réel, de la même manière que tous les nombres réels peuvent être considérés comme 1 multiplié par un autre nombre. Les fonctions arithmétiques telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division peuvent être utilisées avec les nombres complexes. Elles suivent également des propriétés commutatives, associatives et distributives, tout comme les nombres réels.
Des nombres complexes ont été découverts en essayant de résoudre des équations spéciales qui contiennent des exposants. Celles-ci ont commencé à poser de véritables problèmes aux mathématiciens. À titre de comparaison, en utilisant des nombres négatifs, il est possible de trouver le x dans l'équation a + x = b {\style d'affichage a+x=b}
pour toutes les valeurs réelles de a et b, mais si seuls des nombres positifs sont autorisés pour x, il est parfois impossible de trouver un x positif, comme dans l'équation 3 + x = 1.
Avec l'exponentiation, il y a une difficulté à surmonter. Il n'y a pas de nombre réel qui donne -1 au carré. En d'autres termes, -1 (ou tout autre nombre négatif) n'a pas de racine carrée réelle. Par exemple, il n'y a pas de nombre réel x
qui résout ( x + 1 ) 2 = - 9
. Pour résoudre ce problème, les mathématiciens ont introduit un symbole i et l'ont appelé un nombre imaginaire. C'est le nombre imaginaire qui donnera -1 quand il sera au carré.
Les premiers mathématiciens à y avoir pensé sont probablement Gerolamo Cardano et Raffaele Bombelli. Ils ont vécu au XVIe siècle. C'est probablement Leonhard Euler qui a introduit l'écriture i {\displaystyle \mathrm {i} }
pour ce numéro.
Tous les nombres complexes peuvent s'écrire a + b i
(ou a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), où a est appelé la partie réelle du nombre, et b la partie imaginaire. On écrit ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)}
ou Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
pour la partie réelle d'un nombre complexe z {\displaystyle z}
. Donc, si z = a + b i {style d'affichage z=a+bi}
, on écrit a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {style d'affichage a=\Re (z)=\nom de l'opérateur {Re} (z)}
. De même, nous écrivons ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)}
ou Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
pour la partie imaginaire d'un nombre complexe z {\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\nom de l'opérateur {Im} (z)}
pour le même z. Chaque nombre réel est également un nombre complexe ; c'est un nombre complexe z avec ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
.
Le nombre complexe peut également être écrit sous la forme d'une paire ordonnée, (a, b). a et b sont tous deux des nombres réels. Tout nombre réel peut simplement être écrit comme a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i}
ou comme la paire (a, 0).
Parfois,
j est écrit au lieu de i. En électrotechnique, i signifie courant électrique. L'écriture de i peut poser de nombreux problèmes car certains nombres en électrotechnique sont complexes.
L'ensemble de tous les nombres complexes s'écrit généralement comme C {\displaystyle \mathbb {C} }
.
