Une dérivation de la loi des gaz combinés utilisant uniquement l'algèbre élémentaire peut contenir des surprises. Par exemple, à partir des trois lois empiriques
P = k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\ !
} (1) Loi Gay-Lussac, volume supposé constant
V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\ !
} (2) Loi de Charles, pression supposée constante
P V = k T {\displaystyle PV=k_{T}\,\ !
} (3) Loi de Boyle, température supposée constante
où kV, kP et kT sont les constantes, on peut multiplier les trois ensemble pour obtenir
P V P V = k V T k P T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\ ! }
Prendre la racine carrée des deux côtés et la diviser par T semble produire le résultat souhaité
P V T = k P k V k T {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}\,\ ! }
Toutefois, si avant d'appliquer la procédure ci-dessus, on se contente de réorganiser les termes de la loi de Boyle, kT = PV, alors après annulation et réorganisation, on obtient
k T k V k P = T 2 {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\ ! }
ce qui n'est pas très utile, voire trompeur.
Une dérivation physique, plus longue mais plus fiable, commence par réaliser que le paramètre de volume constant de la loi de Gay-Lussac changera au fur et à mesure que le volume du système changera. À volume constant, V1 la loi pourrait apparaître P = k1T, tandis qu'à volume constant V2 elle pourrait apparaître P = k2T. En désignant ce "volume constant variable" par kV(V), réécrivez la loi comme
P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\ !
} (4)
La même considération s'applique à la constante de la loi de Charles, qui peut être réécrite
V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\ !
} (5)
En cherchant à trouver kV(V), il ne faut pas éliminer sans réfléchir T entre (4) et (5), puisque P varie dans le premier cas alors qu'il est supposé constant dans le second. Il convient plutôt de déterminer d'abord dans quel sens ces équations sont compatibles entre elles. Pour y parvenir, il faut se rappeler que deux variables quelconques déterminent la troisième. En choisissant P et V comme étant indépendants, nous imaginons que les valeurs T forment une surface au-dessus du plan PV. Un V0 et un P0 définis définissent un T0, un point sur cette surface. En substituant ces valeurs dans (4) et (5), et en réorganisant les rendements
T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a n d T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}}\quad and\quad T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}}}
Comme elles décrivent toutes deux ce qui se passe au même point de la surface, les deux expressions numériques peuvent être mises en équation et réorganisées
k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}{V_{0}}}\,\ !
} (6)
Notez que 1/kV(V0) et 1/kP(P0) sont les pentes des lignes orthogonales parallèles à l'axe P/V et passant par ce point sur la surface au-dessus du plan PV. Le rapport des pentes de ces deux lignes ne dépend que de la valeur de P0/V0 en ce point.
Notez que la forme fonctionnelle de (6) ne dépendait pas du point particulier choisi. La même formule serait apparue pour toute autre combinaison de valeurs P et V. Par conséquent, on peut écrire
k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}\quad \forall P,\forall V} 
(7)
Cela signifie que chaque point de la surface est traversé par une paire de lignes orthogonales, dont le rapport de pente ne dépend que de ce point. Alors que (6) est une relation entre des pentes spécifiques et des valeurs de variables, (7) est une relation entre des fonctions de pentes et des variables de fonctions. Elle est valable pour tout point de la surface, c'est-à-dire pour toutes les combinaisons de valeurs P et V. Pour résoudre cette équation pour la fonction kV(V), il faut d'abord séparer les variables, V à gauche et P à droite.
V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}
Choisissez n'importe quelle pression P1. Le côté droit évalue à une valeur arbitraire, appelée karb.
V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\ !
} (8)
Cette équation particulière doit maintenant être vraie, non seulement pour une valeur de V, mais pour toutes les valeurs de V. La seule définition de kV(V) qui le garantit pour tous les V et karb arbitraire est
k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}{V}}} 
(9)
qui peut être vérifiée par substitution au point (8).
Enfin, la substitution (9) dans la loi Gay-Lussac (4) et le réaménagement produisent la loi du gaz combiné
P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\ ! }
Notez que si la loi de Boyle n'a pas été utilisée dans cette dérivation, elle est facilement déduite du résultat. En général, deux des trois lois de départ suffisent pour ce type de dérivation - toutes les paires de départ conduisent à la même loi combinée du gaz.
