Théorème central limite
Les théorèmes limites centraux sont des théorèmes pour la théorie des probabilités. Ils disent qu'étant donné un grand nombre de variables aléatoires indépendantes, leur somme suivra une distribution stable. Si la variance des variables aléatoires est finie, il en résultera une distribution gaussienne. C'est l'une des raisons pour lesquelles cette distribution est également connue sous le nom de distribution normale.
Le plus connu et le plus important d'entre eux est connu sous le nom de théorème de la limite centrale. Il s'agit d'un grand nombre de variables aléatoires ayant la même distribution, et ayant une variance finie et une valeur attendue.
Il existe différentes généralisations de ce théorème. Certaines de ces généralisations ne nécessitent plus une distribution identique de toutes les variables aléatoires. Dans ces généralisations, une autre condition préalable permet de s'assurer qu'aucune variable aléatoire n'a une plus grande influence sur le résultat que les autres. Les conditions de Lindeberg et de Lyapunov en sont des exemples.
Le nom du théorème est basé sur un article que George Pólya a écrit en 1920, About the Central Limit Theorem in Probability Theory and the Moment problem.
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce que le théorème de la limite centrale ?
R : Le théorème de la limite centrale (CLT) est un théorème sur les comportements limites des distributions de probabilité agrégées. Il stipule qu'étant donné un grand nombre de variables aléatoires indépendantes, leur somme suivra une distribution stable. Si la variance des variables aléatoires est finie, on obtiendra une distribution gaussienne.
Q : Qui a écrit l'article sur lequel ce théorème est basé ?
R : George Pَlya a écrit l'article "About the Central Limit Theorem in Probability Theory and the Moment Problem" en 1920, qui a servi de base à ce théorème.
Q : Quel type de distribution résulte lorsque toutes les variables aléatoires ont une variance finie ?
R : Lorsque toutes les variables aléatoires ont une variance finie, une distribution gaussienne ou normale résultera de l'application de la CLT.
Q : Existe-t-il des généralisations de la CLT ?
R : Oui, il existe différentes généralisations de la CLT qui ne nécessitent plus une distribution identique de toutes les variables aléatoires. Ces généralisations incluent les conditions de Lindeberg et de Lyapunov qui garantissent qu'aucune variable aléatoire n'a plus d'influence que les autres sur le résultat.
Q : Comment ces généralisations fonctionnent-elles ?
R : Ces généralisations garantissent qu'aucune variable aléatoire unique n'a plus d'influence que les autres sur le résultat en introduisant des conditions préalables supplémentaires telles que les conditions de Lindeberg et de Lyapunov.
Q : Que dit la CLT à propos de la moyenne d'échantillon et de la somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes ayant la même distribution ?
R : Selon la CLT, si n variables aléatoires identiques et distribuées indépendamment avec une moyenne ى {\displaystyle \mu } et un écart type َ {\displaystyle \sigma } alors leur moyenne d'échantillon (X1+...+Xn)/n sera approximativement normale avec une moyenne ى {\displaystyle \mu } et un écart type َ/√n {\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}} . En outre, leur somme X1+...+Xn sera également approximativement normale avec une moyenne nى {\displaystyle n\mu } et un écart type √nَ {\displaystyle {\sqrt {n}}\sigma } . .
