Calcul infinitésimal

Histoire

Dans les années 1670 et 1680, Sir Isaac Newton en Angleterre et Gottfried Leibniz en Allemagne ont découvert le calcul en même temps, en travaillant séparément l'un de l'autre. Newton voulait disposer d'un nouveau moyen de prédire où voir les planètes dans le ciel, car l'astronomie avait toujours été une forme de science populaire et utile, et en savoir plus sur les mouvements des objets dans le ciel nocturne était important pour la navigation des navires. Leibniz voulait mesurer l'espace (l'aire) sous une courbe (une ligne qui n'est pas droite). De nombreuses années plus tard, les deux hommes se sont disputés pour savoir qui l'avait découvert en premier. Des scientifiques anglais soutenaient Newton, mais des scientifiques du reste de l'Europe soutenaient Leibniz. Aujourd'hui, la plupart des mathématiciens s'accordent à dire que les deux hommes se partagent le mérite à parts égales. Certaines parties du calcul moderne proviennent de Newton, comme ses utilisations en physique. D'autres parties viennent de Leibniz, comme les symboles utilisés pour l'écrire.

Ils n'ont pas été les premiers à utiliser les mathématiques pour décrire le monde physique - Aristote et Pythagore sont venus plus tôt, tout comme Galilée, qui a dit que les mathématiques étaient le langage de la science. Mais Newton et Leibniz ont tous deux été les premiers à concevoir un système qui décrit comment les choses changent au fil du temps et peut prédire comment elles changeront à l'avenir.

Le nom "calculus" est le mot latin qui désigne une petite pierre que les Romains de l'Antiquité utilisaient pour compter et jouer. Le mot anglais "calculate" vient du même mot latin.

Calcul différentiel

Le calcul différentiel est utilisé pour trouver le taux de variation d'une variable par rapport à une autre variable.

Dans le monde réel, il peut être utilisé pour trouver la vitesse d'un objet en mouvement, ou pour comprendre le fonctionnement de l'électricité et du magnétisme. Il est très important pour comprendre la physique et de nombreux autres domaines scientifiques.

Le calcul différentiel est également utile pour établir des graphiques. Il peut être utilisé pour trouver la pente d'une courbe et les points les plus hauts et les plus bas (on les appelle le maximum et le minimum) d'une courbe.

Les variables peuvent modifier leur valeur. C'est différent des chiffres car les chiffres sont toujours les mêmes. Par exemple, le chiffre 1 est toujours égal à 1 et le chiffre 200 est toujours égal à 200. Vous écrivez souvent les variables sous forme de lettres comme la lettre x. "X" peut être égal à 1 à un moment donné et à 200 à un autre moment.

La distance et le temps sont des exemples de variables, car ils peuvent changer. La vitesse d'un objet est la distance qu'il parcourt en un temps donné. Ainsi, si une ville se trouve à 80 kilomètres et qu'une personne en voiture y arrive en une heure, elle a déjà parcouru une vitesse moyenne de 80 kilomètres à l'heure. Mais il ne s'agit là que d'une moyenne - peut-être ont-ils roulé plus vite à certains moments (sur une autoroute) et moins vite à d'autres (à un feu de circulation ou dans une petite rue où vivent des gens). Imaginez un conducteur qui essaie de calculer la vitesse d'une voiture en utilisant uniquement son compteur kilométrique et son horloge, sans compteur de vitesse !

Jusqu'à l'invention du calcul, la seule façon de résoudre ce problème était de réduire le temps en morceaux de plus en plus petits, de sorte que la vitesse moyenne sur un temps plus court se rapproche de plus en plus de la vitesse réelle à un moment donné. C'était un processus très long et difficile, qui devait être effectué chaque fois que les gens voulaient trouver une solution.

Un problème très similaire consiste à trouver la pente (sa valeur) en tout point d'une courbe. La pente d'une ligne droite est facile à calculer : il suffit de diviser la pente ascendante (y ou verticale) par la pente transversale (x ou horizontale). Sur une courbe, cependant, la pente est une variable (elle a des valeurs différentes en différents points) parce que la ligne se courbe. Mais si la courbe devait être coupée en très, très petits morceaux, la courbe au niveau du point ressemblerait presque à une ligne droite très courte. Pour calculer sa pente, on peut donc tracer une ligne droite passant par le point ayant la même pente que la courbe en ce point. Si l'opération est effectuée correctement, la ligne droite aura la même pente que la courbe et sera appelée tangente. Mais il n'y a aucun moyen de savoir (sans mathématiques très compliquées) si la tangente est exactement juste, et nos yeux ne sont pas assez précis pour savoir si elle est exacte ou simplement très proche.

Ce que Newton et Leibniz ont trouvé, c'est un moyen de déterminer la pente (ou la vitesse dans l'exemple de la distance) avec précision, en utilisant des règles simples et logiques. Ils ont divisé la courbe en un nombre infini de très petits morceaux. Ils ont ensuite choisi des points de chaque côté de la gamme qui les intéressait et ont calculé les tangentes à chacun d'eux. Au fur et à mesure que les points se rapprochaient du point qui les intéressait, la pente approchait une valeur particulière tandis que les tangentes se rapprochaient de la pente réelle de la courbe. La valeur particulière qu'elle approchait était la pente réelle.

Supposons que nous ayons une fonction y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} . f est l'abréviation de function, donc cette équation signifie "y est une fonction de x". Cela nous indique que la hauteur de y sur l'axe vertical dépend de ce que x (l'axe horizontal) est à ce moment. Par exemple, avec l'équation y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} nous savons que si x est égal à 1, alors y sera égal à 1 ; si x est égal à 3, alors y sera égal à 9 ; si x est égal à 20, alors y sera égal à 400. La dérivée produite par cette méthode est ici de 2 x {style d'affichage 2x} ou 2 multiplié par x . Nous savons donc, sans avoir à tracer de tangentes, qu'en tout point de la courbe f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} le dérivé, f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} (marqué avec le symbole principal), sera 2 x {\displaystyle 2x} à n'importe quel moment. Ce processus d'élaboration d'une pente à l'aide de limites est appelé différenciation, ou recherche de la dérivée.

La façon d'écrire la dérivée en mathématiques est f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h . {\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}. }

Leibniz est arrivé au même résultat, mais a appelé h " d x {\displaystyle dx} ", ce qui signifie "par rapport à x". Il a appelé le changement qui en résulte dans f ( x ) {\displaystyle f(x)} " d y {\displaystyle dy} ", ce qui signifie "une quantité infime de y". La notation de Leibniz est utilisée par plus de livres car elle est facile à comprendre lorsque les équations deviennent plus compliquées. Dans la notation de Leibniz : d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}

Les mathématiciens ont développé cette théorie de base pour en faire des règles d'algèbre simples qui peuvent être utilisées pour trouver la dérivée de presque n'importe quelle fonction.

Sur une courbe, deux points différents ont des pentes différentes. Les lignes rouge et bleue sont tangentes à la courbe.


Une image qui montre ce que x et x + h signifient sur la courbe.

Calcul intégral

Le calcul intégral est le processus de calcul de la surface sous un graphique d'une fonction. Un exemple est le calcul de la distance parcourue par une voiture : si vous connaissez la vitesse de la voiture à différents moments et que vous tracez un graphique de cette vitesse, alors la distance parcourue par la voiture sera la surface sous le graphique.

Pour ce faire, il faut diviser le graphique en plusieurs très petits morceaux, puis dessiner des rectangles très fins sous chaque morceau. À mesure que les rectangles deviennent de plus en plus fins, ils couvrent de mieux en mieux la zone située sous le graphique. La surface d'un rectangle est facile à calculer, de sorte que nous pouvons calculer la surface totale de tous les rectangles. Pour les rectangles plus fins, cette valeur de surface totale se rapproche de la surface sous le graphique. La valeur finale de l'aire est appelée l'intégrale de la fonction.

En mathématiques, l'intégrale de la fonction f(x) de a à b, s'écrit ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limites _{a}^{b}f(x)\,dx} .

L'intégration consiste à trouver les zones, étant donné que a, b et y = f(x).


Nous pouvons faire une approximation de l'aire sous une courbe en additionnant les aires de nombreux rectangles sous la courbe. Plus nous utilisons de rectangles, meilleure est notre approximation.

L'idée principale du calcul

L'idée principale du calcul est appelée le théorème fondamental du calcul. Cette idée principale dit que les deux processus de calcul, le calcul différentiel et le calcul intégral, sont opposés. C'est-à-dire qu'une personne peut utiliser le calcul différentiel pour défaire un processus de calcul intégral. De même, une personne peut utiliser le calcul intégral pour défaire une méthode de calcul différentiel. C'est comme utiliser la division pour "annuler" une multiplication, ou l'addition pour "annuler" une soustraction.

En une seule phrase, le théorème fondamental se présente ainsi : "La dérivée de l'intégrale d'une fonction f est la fonction elle-même".

Autres utilisations du calcul

Le calcul est utilisé pour décrire les choses qui changent, comme les choses de la nature. Il peut être utilisé pour montrer et apprendre toutes ces choses :

• Comment les vagues se déplacent. Les vagues sont très importantes dans le monde naturel. Par exemple, le son et la lumière peuvent être considérés comme des ondes.
• Là où la chaleur se déplace, comme dans une maison. C'est utile pour l'architecture (construction de maisons), afin que la maison puisse être chauffée à un coût aussi bas que possible.
• Comment de très petites choses comme les atomes agissent.
• La vitesse à laquelle une chose va tomber, aussi appelée gravité.
• Le fonctionnement des machines, aussi appelé mécanique.
• La trajectoire de la lune lorsqu'elle se déplace autour de la terre. La trajectoire de la Terre lorsqu'elle se déplace autour du soleil, et de toute planète ou lune se déplaçant autour de n'importe quoi dans l'espace.