Bijection

Propriétés de base

Officiellement :

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} est une fonction bijective si ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B} il y a une a ∈ A {\displaystyle a\in A} unique telle que f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }

L'élément b {\displaystyle b} est appelé l'image de l'élément a {\displaystyle a} .

• La définition formelle signifie : Chaque élément du codomaine B est l'image d'exactement un élément du domaine A.

L'élément a est appelé une pré-image de l'élément b.

• La définition formelle signifie : Chaque élément du codomaine B a exactement une pré-image dans le domaine A.

Remarque : la surimpression signifie au moins une pré-image. L'injection signifie au maximum une pré-image. La bijection signifie donc exactement une pré-image.

Cardinalité

La cardinalité est le nombre d'éléments dans un ensemble. La cardinalité de A={X,Y,Z,W} est de 4. On écrit #A=4.

• Définition : Deux ensembles A et B ont la même cardinalité s'il y a bijection entre les ensembles. Donc #A=#B signifie qu'il y a bijection de A à B.

Bijections et fonctions inverses

• Les bijections sont inversibles en inversant les flèches. La nouvelle fonction est appelée fonction inverse.

Officiellement : Let f : A → B être une bijection. La fonction inverse g : B → A est définie par si f(a)=b, alors g(b)=a. (Voir aussi Fonction inverse).

• La fonction inverse de la fonction inverse est la fonction d'origine.
• Une fonction a une fonction inverse si et seulement si elle est une bijection.

Note : La notation de la fonction inverse de f est déroutante. En effet,

  f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} indique la fonction inverse de la fonction f, mais x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} indique la valeur réciproque du nombre x.

Exemples

Fonctions élémentaires

Soit f(x):ℝ→ℝ une fonction à valeur réelle y=f(x) d'un argument à valeur réelle x. (Cela signifie que l'entrée et la sortie sont toutes deux des nombres).

• Signification graphique : La fonction f est une bijection si chaque ligne horizontale coupe le graphique de f en un point exactement.
• Signification algébrique : La fonction f est une bijection si pour chaque nombre réel yo on peut trouver au moins un nombre réel xo tel que yo=f(xo) et si f(xo)=f(x1) signifie xo=x1 .

Exemple : La fonction linéaire d'une ligne inclinée est une bijection. C'est-à-dire, y=ax+b où a≠0 est une bijection.

Discussion : Chaque ligne horizontale coupe une ligne inclinée en un point exactement (voir surjection et injection pour les épreuves). Image 1.

Exemple : La fonction polynomiale du troisième degré : f(x)=x3 est une bijection. Image 2 et image 5 : fine courbe jaune. Son inverse est la fonction de racine cubique f(x)= ∛x et c'est aussi une bijection f(x):ℝ→ℝ. Image 5 : courbe verte épaisse.

Exemple : La fonction quadratique f(x) = x2 n'est pas une bijection (extrait de ℝ→ℝ). Image 3. Il ne s'agit pas d'une surjection. Ce n'est pas une injection. Cependant, nous pouvons limiter son domaine et son codomaine à l'ensemble des nombres non négatifs (0,+∞) pour obtenir une bijection (inversible) (voir les exemples ci-dessous).

• le domaine
• la machine de fonction
• le codomaine

Exemple : Supposons que notre machine de fonction soit f(x)=x².

• Cette machine et le domaine=ℝ et le codomaine=ℝ ne sont pas une surjection et non une injection. Cependant,
• cette même machine et ce même domaine=[0,+∞) et codomain=[0,+∞) est à la fois une surjection et une injection et donc une bijection.

Bijections et leurs inverses

Soit f(x):A→B où A et B sont des sous-ensembles de ℝ.

• Supposons que f n'est pas une bijection. Pour tout x où la dérivée de f existe et n'est pas nulle, il existe un voisinage de x où nous pouvons restreindre le domaine et le codomaine de f pour qu'il soit une bissection.
• Les graphes des fonctions inverses sont symétriques par rapport à la droite y=x. (Voir aussi Fonction inverse).

Exemple : La fonction quadratique définie sur le domaine restreint et le codomaine [0,+∞].

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x) :[0,+\infty )\,\,\\flèche droite \,\,[0,+\infty )} défini par f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}

est une bijection. Image 6 : fine courbe jaune.

Exemple : La fonction de racine carrée définie sur le domaine et codomaine restreint [0,+∞].

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) F(x) :[0,+\infty], [0,+\infty], [0,+\infty], défini par f ( x ) = x F(x)={\sqrt {x}}

est la bijection définie comme la fonction inverse de la fonction quadratique : x2. Image 6 : courbe verte épaisse.

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )} défini par f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1}

est une bijection. Image 4 : fine courbe jaune (a=10).

Exemple : La fonction logarithmique base un défini sur le domaine restreint (0,+∞) et le codomaine ℝ

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x) :(0,+\infty )\,\,\\rightarrow \,\,\mathbf {R} } défini par f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1}

est la bijection définie comme la fonction inverse de la fonction exponentielle : ^ax. Image 4 : courbe verte épaisse (a=10).

Pages connexes

• Fonction (mathématiques)
• Fonction subjective
• Fonction injectrice
• Fonction inverse