Fonctions élémentaires
Soit f(x):ℝ→ℝ une fonction à valeur réelle y=f(x) d'un argument à valeur réelle x. (Cela signifie que l'entrée et la sortie sont toutes deux des nombres).
- Signification graphique : La fonction f est une bijection si chaque ligne horizontale coupe le graphique de f en un point exactement.
- Signification algébrique : La fonction f est une bijection si pour chaque nombre réel yo on peut trouver au moins un nombre réel xo tel que yo=f(xo) et si f(xo)=f(x1) signifie xo=x1 .
Prouver qu'une fonction est une bijection, c'est prouver qu'elle est à la fois une surjection et une injection. Les preuves formelles sont donc rarement faciles. Nous discutons ci-dessous et ne prouvons pas. (Voir surjeter et injecter).
Exemple : La fonction linéaire d'une ligne inclinée est une bijection. C'est-à-dire, y=ax+b où a≠0 est une bijection.
Discussion : Chaque ligne horizontale coupe une ligne inclinée en un point exactement (voir surjection et injection pour les épreuves). Image 1.
Exemple : La fonction polynomiale du troisième degré : f(x)=x3 est une bijection. Image 2 et image 5 : fine courbe jaune. Son inverse est la fonction de racine cubique f(x)= ∛x et c'est aussi une bijection f(x):ℝ→ℝ. Image 5 : courbe verte épaisse.
Exemple : La fonction quadratique f(x) = x2 n'est pas une bijection (extrait de ℝ→ℝ). Image 3. Il ne s'agit pas d'une surjection. Ce n'est pas une injection. Cependant, nous pouvons limiter son domaine et son codomaine à l'ensemble des nombres non négatifs (0,+∞) pour obtenir une bijection (inversible) (voir les exemples ci-dessous).
Note : Ce dernier exemple le montre. Pour déterminer si une fonction est une bijection, nous devons savoir trois choses :
- le domaine
- la machine de fonction
- le codomaine
Exemple : Supposons que notre machine de fonction soit f(x)=x².
- Cette machine et le domaine=ℝ et le codomaine=ℝ ne sont pas une surjection et non une injection. Cependant,
- cette même machine et ce même domaine=[0,+∞) et codomain=[0,+∞) est à la fois une surjection et une injection et donc une bijection.
Bijections et leurs inverses
Soit f(x):A→B où A et B sont des sous-ensembles de ℝ.
- Supposons que f n'est pas une bijection. Pour tout x où la dérivée de f existe et n'est pas nulle, il existe un voisinage de x où nous pouvons restreindre le domaine et le codomaine de f pour qu'il soit une bissection.
- Les graphes des fonctions inverses sont symétriques par rapport à la droite y=x. (Voir aussi Fonction inverse).
Exemple : La fonction quadratique définie sur le domaine restreint et le codomaine [0,+∞].
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x) :[0,+\infty )\,\,\\flèche droite \,\,[0,+\infty )} défini par 
f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}
est une bijection. Image 6 : fine courbe jaune.
Exemple : La fonction de racine carrée définie sur le domaine et codomaine restreint [0,+∞].
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) F(x) :[0,+\infty], [0,+\infty], [0,+\infty], défini par f ( x ) = x F(x)={\sqrt {x}}
est la bijection définie comme la fonction inverse de la fonction quadratique : x2. Image 6 : courbe verte épaisse.
Exemple : La fonction exponentielle définie sur le domaine ℝ et le codomaine restreint (0,+∞)
f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )} défini par 
f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1}
est une bijection. Image 4 : fine courbe jaune (a=10).
Exemple : La fonction logarithmique base un défini sur le domaine restreint (0,+∞) et le codomaine ℝ
f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x) :(0,+\infty )\,\,\\rightarrow \,\,\mathbf {R} } défini par 
f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1}
est la bijection définie comme la fonction inverse de la fonction exponentielle : ax. Image 4 : courbe verte épaisse (a=10).
| Bijection : chaque ligne verticale (dans le domaine) et chaque ligne horizontale (dans le codomaine) coupe exactement un point du graphique. |
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1. Bijection. Toutes les lignes inclinées sont des bijections f(x):ℝ→ℝ. | 
2. Bijection. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³. | 
3. Pas une bijection. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² n'est pas une surjection. Ce n'est pas une injection. |
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4. Bijections. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (jaune fin) et son inverse f(x) :(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10x (vert épais). | 
5. Bijections. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (jaune fin) et son inverse f(x)=∛x (vert épais). | 
6. Bijections. f(x) :[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (jaune fin) et son inverse f(x)=√x (vert épais). |
