Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel

Un axiome est une déclaration qui est acceptée sans discussion et qui n'a pas de preuve. ZF contient huit axiomes.

1. L'axiome de l'extension dit que deux ensembles sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes éléments. Par exemple, l'ensemble { 1 , 3 } {\displaystyle \{1,3}} et l'ensemble {3,1} sont égaux.
2. L'axiome de la fondation dit que chaque ensemble S {\displaystyle S} (autre que l'ensemble vide) contient un élément qui est disjoint (ne partage aucun membre) avec S {\displaystyle S} .
3. L'axiome de spécification dit qu'étant donné un ensemble S {\displaystyle S} et un prédicat F (style d'affichage F) (une fonction qui est soit vraie, soit fausse), qu'il existe un ensemble qui contient exactement les éléments de S {\displaystyle S} où F {\displaystyle F} est vrai. Par exemple, si S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 }, il existe un ensemble qui contient exactement les éléments de S {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} et F {displaystyle F} est "c'est un nombre pair", alors l'axiome dit que l'ensemble { 2 , 6 } {\displaystyle \{2,6}} existe.
4. L'axiome de l'appariement dit qu'étant donné deux ensembles, il y a un ensemble dont les membres sont exactement les deux ensembles donnés. Ainsi, étant donné les deux ensembles { 0 , 3 } {\displaystyle \{0,3\}} et { 2 , 5 } {\displaystyle \{2,5}} cet axiome indique que l'ensemble { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}} existe.
5. L'axiome de l'union dit que pour tout ensemble, il existe un ensemble qui se compose uniquement des éléments des éléments de cet ensemble. Par exemple, étant donné l'ensemble { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} cet axiome indique que l'ensemble { 0 , 3 , 2 , 5 } {\displaystyle \{0,3,2,5\}} existe.
6. L'axiome de remplacement dit que pour tout ensemble S et une fonction F que l'ensemble constitué par les résultats de l'appel de F sur tous les membres de S existe. Par exemple, si S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } et F est "ajouter dix à ce nombre", alors l'axiome dit que l'ensemble { 11 , 12 , 13 , 15 , 16 } {\displaystyle \{11,12,13,15,16\}} existe.
7. L'axiome de l'infini dit que l'ensemble de tous les entiers (tel que défini par la construction de Von Neumann) existe. C'est l'ensemble { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . } {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}
8. L'axiome de l'ensemble de puissance dit que l'ensemble de puissance (l'ensemble de tous les sous-ensembles) de tout ensemble existe. Par exemple, l'ensemble de puissance de { 2 , 5 } Le style d'affichage est , { 5 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}

L'axiome du choix dit qu'il est possible de retirer un objet de chacun des éléments d'un ensemble et d'en faire un nouvel ensemble. Par exemple, étant donné que l'ensemble { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} l'axiome du choix montrerait qu'un ensemble tel que { 3 , 5 } {\displaystyle \{3,5}} existe. Cet axiome peut être prouvé à partir des autres axiomes pour les ensembles finis, mais pas pour les ensembles infinis.