Paradoxes de Zénon

Achille et la tortue

Dans le paradoxe d'Achille et de la tortue, Achille est dans une course à pied avec la tortue. Achille donne à la tortue une avance de 100 mètres, par exemple. Supposons que chaque coureur commence à courir à une vitesse constante, un très rapide et un très lent. Après un temps limité, Achille aura couru 100 mètres, ce qui l'amènera au point de départ de la tortue. Pendant ce temps, la tortue la plus lente aura parcouru une distance beaucoup plus courte. Il faudra ensuite un peu plus de temps à Achille pour parcourir cette distance, après quoi la tortue aura progressé plus loin. Il faudra alors encore plus de temps pour qu'Achille atteigne ce troisième point, tandis que la tortue avance à nouveau. Ainsi, chaque fois qu'Achille atteint un endroit où la tortue s'est rendue, il lui reste encore du chemin à parcourir. Par conséquent, comme il y a un nombre infini de points qu'Achille doit atteindre là où la tortue a déjà été, il ne peut jamais dépasser la tortue.

Le paradoxe de la dichotomie

Supposons que quelqu'un souhaite se rendre du point A au point B. Il doit d'abord se déplacer à mi-chemin. Ensuite, il doit parcourir la moitié du chemin restant. En continuant de cette manière, il restera toujours une petite distance à parcourir et l'objectif ne sera jamais atteint. Il y aura toujours un autre chiffre à ajouter dans une série comme 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ....Ainsi, le déplacement d'un point A à un point B différent est considéré comme une impossibilité.

Commentaire

C'est là que réside le paradoxe de Zeno : les deux images de la réalité ne peuvent pas être vraies en même temps. D'où, soit : 1. Il y a quelque chose qui ne va pas dans la façon dont nous percevons la nature continue du temps, 2. en réalité, il n'existe pas de quantité de temps, de distance, ou peut-être autre chose, discrète ou incrémentielle, 3. Il existe une troisième image de la réalité qui unifie les deux images, celle des mathématiques et celle du bon sens ou de la philosophie, que nous n'avons pas encore les outils pour comprendre pleinement.

Solutions proposées

Peu de gens parieraient que la tortue gagnerait la course contre un athlète. Mais qu'est-ce qui ne va pas avec cet argument ?

Lorsqu'on commence à additionner les termes de la série 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...., on peut remarquer que la somme se rapproche de plus en plus de 1, et ne dépassera jamais 1. Aristote (qui est la source d'une grande partie de ce que nous savons sur Zénon) a noté que plus la distance (dans le paradoxe de la dichotomie) diminue, plus le temps nécessaire pour parcourir chaque distance devient extrêmement petit. Avant 212 avant J.-C., Archimède avait mis au point une méthode pour obtenir une réponse finie pour la somme d'un nombre infini de termes qui deviennent progressivement plus petits (comme 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). Le calcul moderne permet d'obtenir le même résultat, en utilisant des méthodes plus rigoureuses.

Certains mathématiciens, comme w:Carl Boyer, soutiennent que les paradoxes de Zénon sont simplement des problèmes mathématiques, pour lesquels le calcul moderne fournit une solution mathématique. Cependant, les questions de Zénon restent problématiques si l'on s'approche d'une série infinie de pas, un pas à la fois. C'est ce qu'on appelle une "supertâche". Le calcul n'implique pas réellement l'addition de nombres un à un. Il détermine plutôt la valeur (appelée limite) à laquelle l'addition s'approche.

Voir les articles de Wikipedia en anglais

• Les paradoxes de Zénon
• La quadrature de la parabole
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·
• La lampe de Thompson