Ondelette
Une ondelette est une fonction mathématique utilisée pour écrire une fonction ou un signal en fonction d'autres fonctions plus simples à étudier. De nombreuses tâches de traitement du signal peuvent être vues sous la forme d'une transformée en ondelettes. De manière informelle, le signal peut être vu sous l'objectif avec un grossissement donné par l'échelle de l'ondelette. Ce faisant, nous ne pouvons voir que les informations qui sont déterminées par la forme de l'ondelette utilisée.
Le terme anglais "wavelet" a été introduit au début des années 1980 par les physiciens français Jean Morlet et Alex Grossman. Ils ont utilisé le mot français "ondelette" (qui signifie "petite vague"). Plus tard, ce mot a été introduit en anglais en traduisant "onde" par "wave" donnant "ondelette".
L'ondelette est une fonction (complexe) de l'espace de Hilbert ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}
. Pour des applications pratiques, elle doit remplir les conditions suivantes.
Elle doit avoir une énergie limitée.
∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty }
Elle doit satisfaire à une condition de recevabilité.
∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty}
où ψ ^ {\displaystyle \psi \}}
est une transformée de Fourier de ψ {\displaystyle \psi \,}
La condition de moyenne zéro implique une condition de recevabilité.
∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0}
La fonction ψ {\displaystyle \psi \,} est appelée ondelette mère. Ses versions normalisées traduites (décalées) et dilatées (mises à l'échelle) sont définies comme suit.
ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)}
L'ondelette mère d'origine a les paramètres a = 1 {\displaystyle a=1}
et b = 0 {\displaystyle b=0}
. La traduction est décrite par le
paramètre b {\displaystyle b} et la dilatation par le paramètre 
a.
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce qu'une ondelette ?
R : Une ondelette est une fonction mathématique utilisée pour décrire une fonction ou un signal en termes d'autres fonctions plus simples à étudier. Elle peut être vue sous l'objectif avec un grossissement donné par l'échelle de l'ondelette, ce qui permet de ne voir que l'information déterminée par sa forme.
Q : Qui a introduit le terme "ondelette" ?
R : Le terme anglais "wavelet" a été introduit au début des années 1980 par les physiciens français Jean Morlet et Alex Grossman, qui ont utilisé le mot français "ondelette" (qui signifie "petite vague"). Plus tard, ce mot a été transposé en anglais en traduisant "onde" par "wave", ce qui nous a donné "wavelet".
Q : À quoi doit satisfaire une ondelette pour des applications pratiques ?
R : Pour les applications pratiques, une ondelette doit avoir une énergie finie et satisfaire à une condition d'admissibilité. Cette condition d'admissibilité stipule que la moyenne doit être nulle et que l'intégrale sur la fréquence doit être inférieure à l'infini.
Q : Qu'entend-on par "translation" et "dilatation" lorsqu'on parle d'ondelettes ?
R : La translation fait référence au déplacement de l'ondelette mère le long de l'axe temporel, tandis que la dilatation fait référence à la mise à l'échelle ou à l'étirement/rétrécissement des ondelettes mères le long de l'axe temporel. Ces deux paramètres (translation et dilatation) sont décrits respectivement par b et a.
Q : Qu'est-ce que cela signifie pour une ondelette d'avoir une moyenne nulle ?
R : Une ondelette de moyenne nulle implique qu'en intégrant toutes les valeurs de t, de l'infini négatif à l'infini positif, la somme doit être égale à 0, c'est-à-dire que ∫-∞∞ψ(t)dt=0 . Cette exigence découle de la condition d'admissibilité mentionnée ci-dessus.
Q : Comment les ondelettes mères sont-elles définies ?
R : Les ondelettes mères sont définies comme des versions normalisées de la version translatée (décalée) et dilatée (mise à l'échelle) des ondelettes mères originales dont les paramètres sont "a" = 1 et "b" = 0.
