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Ondelette — fonctions et transformées pour l’analyse temps‑échelle

Fonction localisée utilisée pour décomposer signaux et fonctions en échelles et positions. Présentation des propriétés, de la transformée continue et discrète, des familles d'ondelettes et de leurs applications.

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Une ondelette est une fonction localisée en temps et en fréquence employée comme atome de décomposition d'un signal. À la différence des sinusoïdes de la transformée de Fourier, elle permet une résolution conjointe temps‑fréquence : on explore un signal à différentes échelles (grossissements) et positions (translations). Les ondelettes servent à l'analyse locale, à la compression, au débruitage et à la détection de singularités. {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}

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Time frequency atom resolution
en.wikipedia.org · CC BY-SA 3.0

Définition formelle et conditions

Mathématiquement, une ondelette mère ψ est une fonction de l'espace L2(R), c'est‑à‑dire de carré intégrable. Les conditions usuelles comprennent une énergie finie, la moyenne nulle (pour isoler les variations locales) et la condition de recevabilité liée à sa transformée de Fourier, qui garantit la possibilité de reconstruction intégrale du signal. Ces propriétés assurent qu'une famille de versions dilatées et translatées de ψ est adaptée pour l'analyse. {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty }

Dilatation et translation

La famille d'ondelettes associée s'obtient par dilatation (échelle a>0) et translation (position b∈R). La forme normalisée s'écrit ψ_{a,b}(t) = (1/√a) ψ((t−b)/a). Le facteur de normalisation conserve l'énergie et fait correspondre petites valeurs de a aux composantes haute fréquence et grandes valeurs de a aux basses fréquences. Cette paramétrisation permet d'adapter l'analyse à la structure locale du signal. {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty }

Transformée en ondelettes continue (CWT)

La transformée en ondelettes continue calcule les coefficients d'analyse en projetant le signal sur ψ_{a,b} pour une variété de couples (a,b). La CWT est redondante mais fournit un scalogramme utile pour visualiser la distribution d'énergie selon l'échelle et le temps, ce qui facilite la détection d'événements transitoires et l'étude de phénomènes non stationnaires. {\displaystyle {\hat {\psi }}}

Transformée en ondelettes discrète et banques de filtres

Pour des applications numériques efficaces, on utilise la transformée en ondelettes discrète (DWT) associée à des bases orthonormales ou à des trames discrètes. L'algorithme de Mallat, fondé sur des filtres passe‑bas et passe‑haut et un sous‑échantillonnage, produit une décomposition multi‑niveau dite pyramide. La DWT est rapide, parcimonieuse et adaptée à la compression et au débruitage. {\displaystyle \psi \,}

Analyse multirésolution

Le cadre d'analyse multirésolution (MRA) définit une suite d'espaces emboîtés permettant de séparer l'information en une approximation grossière et des détails successifs. La fonction d'échelle φ (scaling function) et l'ondelette ψ obéissent à des relations d'échelle liées aux coefficients d'un filtre. Cette structure sert de base à la construction d'ondelettes compactes et régulières. {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0}

Propriétés des familles d'ondelettes

  • Support compact vs support illimité : influence la localisation temporelle et la complexité du filtrage ;
  • Nombre de moments nuls (vanishing moments) : plus il est élevé, mieux l'ondelette annule les polynômes et détecte les singularités ;
  • Orthogonalité ou biorthogonalité : condition importante pour la reconstruction exacte et l'implémentation numérique ;
  • Régularité (lissage) : qualité de l'ondelette pour représenter des signaux lisses.

{\displaystyle \psi \,}

Exemples courants

Parmi les familles d'usage fréquent figurent l'ondelette de Haar (simple, support compact), les ondelettes de Daubechies (compactes, régulières), l'ondelette de Morlet (analytique, utile en CWT) et les constructions de Meyer ou Symlet. Le choix dépend des priorités : compacité, symétrie, nombres de moments nuls ou facilité de calcul. {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)}

Applications pratiques

Les ondelettes sont utilisées en compression d'images et de vidéos, en débruitage adaptatif, en analyse d'ECG et d'EEG, en sismologie pour détecter des événements, en traitement audio, en analyse financière pour étudier des fluctuations et en résolution numérique d'équations aux dérivées partielles via des bases multirésolution. Leur capacité à isoler des structures locales les rend utiles dans de nombreux domaines. {\displaystyle a=1}

Avantages et limites

Les avantages incluent la localisation temps‑fréquence, la compacité des représentations et l'efficacité numérique. Parmi les limites figurent la dépendance au choix de l'ondelette mère, la redondance de la CWT et des compromis entre localisation temporelle et fréquentielle imposés par le principe d'incertitude. Pour chaque application, il convient d'ajuster l'échelle et l'ondelette au problème étudié. {\displaystyle b=0}

Extensions et développements

La théorie s'est étendue aux ondelettes multidimensionnelles, aux ondelettes sur graphes et aux transformations innovantes combinant ondelettes et apprentissage automatique. Des variantes non linéaires et des méthodes adaptatives cherchent à mieux capturer des structures complexes dans les données modernes. {\displaystyle b}

Origine et références historiques

Le terme « ondelette » a été popularisé au début des années 1980 par des travaux de Jean Morlet et Alex Grossmann en physique. Par la suite, des contributions majeures de mathématiciens et d'ingénieurs ont formalisé la transformée discrète, les bases compactes et les algorithmes de filtrage qui sont aujourd'hui standard en traitement du signal. a

Ondelette Morlet
Ondelette Morlet

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce qu'une ondelette ?

R : Une ondelette est une fonction mathématique utilisée pour décrire une fonction ou un signal en termes d'autres fonctions plus simples à étudier. Elle peut être vue sous l'objectif avec un grossissement donné par l'échelle de l'ondelette, ce qui permet de ne voir que l'information déterminée par sa forme.

Q : Qui a introduit le terme "ondelette" ?

R : Le terme anglais "wavelet" a été introduit au début des années 1980 par les physiciens français Jean Morlet et Alex Grossman, qui ont utilisé le mot français "ondelette" (qui signifie "petite vague"). Plus tard, ce mot a été transposé en anglais en traduisant "onde" par "wave", ce qui nous a donné "wavelet".

Q : À quoi doit satisfaire une ondelette pour des applications pratiques ?

R : Pour les applications pratiques, une ondelette doit avoir une énergie finie et satisfaire à une condition d'admissibilité. Cette condition d'admissibilité stipule que la moyenne doit être nulle et que l'intégrale sur la fréquence doit être inférieure à l'infini.

Q : Qu'entend-on par "translation" et "dilatation" lorsqu'on parle d'ondelettes ?

R : La translation fait référence au déplacement de l'ondelette mère le long de l'axe temporel, tandis que la dilatation fait référence à la mise à l'échelle ou à l'étirement/rétrécissement des ondelettes mères le long de l'axe temporel. Ces deux paramètres (translation et dilatation) sont décrits respectivement par b et a.

Q : Qu'est-ce que cela signifie pour une ondelette d'avoir une moyenne nulle ?

R : Une ondelette de moyenne nulle implique qu'en intégrant toutes les valeurs de t, de l'infini négatif à l'infini positif, la somme doit être égale à 0, c'est-à-dire que ∫-∞∞ψ(t)dt=0 . Cette exigence découle de la condition d'admissibilité mentionnée ci-dessus.

Q : Comment les ondelettes mères sont-elles définies ?

R : Les ondelettes mères sont définies comme des versions normalisées de la version translatée (décalée) et dilatée (mise à l'échelle) des ondelettes mères originales dont les paramètres sont "a" = 1 et "b" = 0.

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AlegsaOnline.com Ondelette — fonctions et transformées pour l’analyse temps‑échelle

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