Transformation en ondelettes

La transformée en ondelettes est une représentation temps-fréquence d'un signal. Par exemple, nous l'utilisons pour la réduction du bruit, l'extraction de caractéristiques ou la compression du signal.

La transformée en ondelettes d'un signal continu est définie comme

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t [style d'affichage](a)b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

où

ψ $\psi$ est ce qu'on appelle une ondelette mère,
a désigne la dilatation des ondelettes,
b {\displaystyle b} $b$ indique le décalage temporel de l'ondelette et
∗ {\displaystyle *} Le $*$ symbole indique un conjugué complexe.

Dans le cas où a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}} $a={a_{0}}^{m}$ et b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ où un 0 > 1, style d'affichage a_{0}>1 T $a_{0}>1$ > 0 et m $T>0$ et k sont des constantes entières, la transformée en ondelettes est appelée transformée en ondelettes discrètes (de signal continu).

Dans le cas où a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ et b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ , où m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ , la transformée en ondelettes discrètes est appelée dyadique. Elle est définie comme

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t [style d'affichage] (m.)k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

où

m {\displaystyle m} est l'échelle de fréquence,
k {\displaystyle k} est l'échelle de temps et
T {\displaystyle T} $T$ est une constante qui dépend de l'ondelette mère.

Il est possible de réécrire la transformée d'ondelettes discrètes dyadiques en

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

où h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ est l'impulsion caractéristique du filtre continu qui est identique à ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} ${\psi _{m}}^{*}$ pour m {\displaystyle m} donné .

De façon analogue, la transformation dyadique en ondelettes avec un temps discret (de signal discret) est définie comme

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce que la transformée en ondelettes ?

R : La transformée en ondelettes est une représentation temps-fréquence d'un signal utilisée pour la réduction du bruit, l'extraction de caractéristiques ou la compression du signal.

Q : Comment définit-on la transformée en ondelettes des signaux continus ?

R : La transformée en ondelettes des signaux continus est définie comme une intégrale de toutes les valeurs d'une fonction multipliée par une ondelette mère, où les paramètres "a" et "b" désignent respectivement la dilatation et le décalage temporel.

Q : Que sont les transformées en ondelettes discrètes dyadiques ?

R : Les transformées en ondelettes discrètes dyadiques sont des versions discrètes des transformées en ondelettes discrètes régulières avec une échelle de fréquence "m", une échelle de temps "k" et une constante "T". Elles peuvent être réécrites comme une intégrale sur toutes les valeurs d'une fonction multipliée par un filtre caractéristique d'impulsion qui est identique à l'ondelette mère pour une valeur m donnée.

Q : Qu'entend-on par "ondelette mère" dans ce contexte ?

R : Dans ce contexte, les "ondelettes mères" désignent les fonctions qui sont utilisées conjointement avec d'autres fonctions pour former la base de calcul d'un type particulier de transformation (dans ce cas, la transformation en ondelettes).

Q : Comment calcule-t-on des ondelettes discrètes dyadiques ?

R : Les ondelettes discrètes dyadiques sont calculées en utilisant une intégrale sur toutes les valeurs d'une fonction multipliée par un filtre caractéristique d'impulsion qui est identique à l'ondelette mère pour une valeur donnée m. En outre, elles nécessitent l'échelle de fréquence m, l'échelle de temps k et la constante T comme paramètres.

Q : Que représentent "a" et "b" dans la définition des ondelettes continues ?

R : Lors de la définition des ondelettes continues, "a" représente la dilatation tandis que "b" représente le décalage temporel.